This paper is concerned with finite sample approximations to the supremum of a non-degenerate $U$-process of a general order indexed by a function class. We are primarily interested in situations where the function class as well as the underlying distribution change with the sample size, and the $U$-process itself is not weakly convergent as a process. Such situations arise in a variety of modern statistical problems. We first consider Gaussian approximations, namely, approximate the $U$-process supremum by the supremum of a Gaussian process, and derive coupling and Kolmogorov distance bounds. Such Gaussian approximations are, however, not often directly applicable in statistical problems since the covariance function of the approximating Gaussian process is unknown. This motivates us to study bootstrap-type approximations to the $U$-process supremum. We propose a novel jackknife multiplier bootstrap (JMB) tailored to the $U$-process, and derive coupling and Kolmogorov distance bounds for the proposed JMB method. All these results are non-asymptotic, and established under fairly general conditions on function classes and underlying distributions. Key technical tools in the proofs are new local maximal inequalities for $U$-processes, which may be useful in other problems. We also discuss applications of the general approximation results to testing for qualitative features of nonparametric functions based on generalized local $U$-processes.

中文翻译：

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Jackknife 乘法器引导程序：应用程序对 U 过程上界的有限样本近似

本文关注的是由函数类索引的一般顺序的非退化 $U$ 过程的上限值的有限样本近似。我们主要对函数类以及底层分布随样本大小而变化的情况感兴趣，并且 $U$ 过程本身作为一个过程不是弱收敛的。这种情况出现在各种现代统计问题中。我们首先考虑高斯近似，即通过高斯过程的上限值来近似 $U$-过程上限值，并导出耦合和 Kolmogorov 距离界限。然而，这种高斯近似通常并不直接适用于统计问题，因为近似高斯过程的协方差函数是未知的。这促使我们研究 $U$-process supremum 的 bootstrap 类型近似。我们提出了一种适用于 $U$ 过程的新型折刀乘法器引导程序 (JMB)，并为所提出的 JMB 方法推导出耦合和 Kolmogorov 距离界限。所有这些结果都是非渐近的，并且是在函数类和基础分布的相当一般的条件下建立的。证明中的关键技术工具是新的 $U$ 过程的局部最大不等式，这可能在其他问题中有用。我们还讨论了一般近似结果在基于广义局部 $U$ 过程的非参数函数的定性特征测试中的应用。所有这些结果都是非渐近的，并且是在函数类和基础分布的相当一般的条件下建立的。证明中的关键技术工具是新的 $U$ 过程的局部最大不等式，这可能在其他问题中有用。我们还讨论了一般近似结果在基于广义局部 $U$ 过程的非参数函数的定性特征测试中的应用。所有这些结果都是非渐近的，并且是在函数类和基础分布的相当一般的条件下建立的。证明中的关键技术工具是新的 $U$ 过程的局部最大不等式，这可能在其他问题中有用。我们还讨论了一般近似结果在基于广义局部 $U$ 过程的非参数函数的定性特征测试中的应用。