Minimum cut problems are among the most classical problems in Combinatorial Optimization and are used in a wide set of applications. Some of the best-known efficiently solvable variants include global mininmum cuts, minimum s – t cuts, and minimum odd cuts in undirected graphs. We study a problem class that can be seen to generalize the above variants, namely finding congruency-constrained minimum cuts, i.e., we consider cuts whose number of vertices is congruent to r modulo m , for some integers r and m . Apart from being a natural generalization of odd cuts, congruency-constrained minimum cuts exhibit an interesting link to a long-standing open problem in Integer Programming, namely whether integer programs described by an integer constraint matrix with bounded subdeterminants can be solved efficiently. We develop a new contraction technique inspired by Karger’s celebrated contraction algorithm for minimum cuts, which, together with further insights, leads to a polynomial time randomized approximation scheme for congruency-constrained minimum cuts for any constant modulus m . Instead of contracting edges of the original graph, we use splitting-off techniques to create an auxiliary graph on a smaller vertex set, which is used for performing random edge contractions. This way, a well-structured distribution of candidate pairs of vertices to be contracted is obtained, where the involved pairs are generally not connected by an edge. As a byproduct, our technique reveals new structural insights into near-minimum odd cuts, and, more generally, near-minimum congruency-constrained cuts.

中文翻译：

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一种适用于一致性约束切割的新收缩技术

最小割问题是组合优化中最经典的问题之一，并被广泛应用于各种应用中。一些最著名的有效可解变体包括全局最小割、最小 s - t 割和无向图中的最小奇数割。我们研究了一个问题类，它可以被看作是对上述变体的概括，即寻找一致性约束的最小切割，即我们考虑顶点数量与 r 模 m 一致的切割，对于某些整数 r 和 m 。除了是奇数割的自然推广之外，同余约束最小割还与整数规划中一个长期存在的开放问题有一个有趣的联系，即是否可以有效地解决由具有有界子行列式的整数约束矩阵描述的整数规划。我们开发了一种新的收缩技术，其灵感来自 Karger 著名的最小切割收缩算法，该技术与进一步的见解一起，导致了多项式时间随机近似方案，用于任何恒模 m 的一致性约束最小切割。我们没有收缩原始图的边，而是使用分裂技术在较小的顶点集上创建辅助图，用于执行随机边收缩。通过这种方式，可以获得要收缩的候选顶点对的结构良好的分布，其中所涉及的顶点对通常不通过边连接。作为副产品，我们的技术揭示了对接近最小奇数切割的新结构见解，更一般地说，是接近最小一致性约束切割。这与进一步的见解一起，导致了一个多项式时间随机近似方案，用于任何恒模 m 的一致性约束最小切割。我们没有收缩原始图的边，而是使用分裂技术在较小的顶点集上创建辅助图，用于执行随机边收缩。通过这种方式，可以获得要收缩的候选顶点对的结构良好的分布，其中所涉及的顶点对通常不通过边连接。作为副产品，我们的技术揭示了对接近最小奇数切割的新结构见解，更一般地说，是接近最小一致性约束切割。这与进一步的见解一起，导致了一个多项式时间随机近似方案，用于任何恒模 m 的一致性约束最小切割。我们没有收缩原始图的边，而是使用分裂技术在较小的顶点集上创建辅助图，用于执行随机边收缩。通过这种方式，可以获得要收缩的候选顶点对的结构良好的分布，其中所涉及的顶点对通常不通过边连接。作为副产品，我们的技术揭示了对接近最小奇数切割的新结构见解，更一般地说，是接近最小一致性约束切割。我们没有收缩原始图的边，而是使用分裂技术在较小的顶点集上创建辅助图，用于执行随机边收缩。通过这种方式，可以获得要收缩的候选顶点对的结构良好的分布，其中所涉及的顶点对通常不通过边连接。作为副产品，我们的技术揭示了对接近最小奇数切割的新结构见解，更一般地说，是接近最小一致性约束切割。我们没有收缩原始图的边，而是使用分裂技术在较小的顶点集上创建辅助图，用于执行随机边收缩。通过这种方式，可以获得要收缩的候选顶点对的结构良好的分布，其中所涉及的顶点对通常不通过边连接。作为副产品，我们的技术揭示了对接近最小奇数切割的新结构见解，更一般地说，是接近最小一致性约束切割。