Abstract In Duarte et al. (2016) and Avellar et al. (2019), we have developed a method (we call it S -function method) that is successful in treating certain classes of rational second order ordinary differential equations (rational 2ODEs) that are particularly ‘resistant’ to canonical Lie methods and to Darbouxian approaches (extensions of the Prelle–Singer method). In this present paper, we generalize the S -function method making it capable of dealing with a class of elementary 2ODEs. We also present a Maple implementation of the method in a computational package – S + + – that is designed to provide a set of tools to allow the user to analyze the intermediary steps of the generalized S -function method. Finally, we apply this method to a Duffing–Van der Pol forced oscillator, obtaining an entirely new class of first integrals. Program summary Program Title: S + + – Generalization of the S -function Method. Program Files doi: http://dx.doi.org/10.17632/wr636kbd9m.1 Licensing provisions: CC BY NC 3.0 Programming language: Maple 17. Nature of problem: Search for first integrals of elementary 2ODEs. Solution method: The method of solution is based on an algorithm described in this paper. Additional comments including restrictions and unusual features: If the 2ODE that is being analyzed presents a very high degree in ( x , y , z ) or in the elementary function, then the method may not work well. Our implementation can deal with 2ODEs presenting elementary functions and find first integrals in many cases where the 2ODE under study cannot be reduced by other powerful solvers. Besides that, the package presents some useful research commands.

中文翻译：

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应用于 Duffing-Van der Pol 强制振荡器的 S 函数方法的推广

Duarte 等人的摘要。(2016) 和 Avellar 等人。（2019 年），我们开发了一种方法（我们称之为 S 函数方法），该方法成功地处理了某些类别的有理二阶常微分方程（有理 2ODE），这些方程对典型李方法和 Darbouxian 方法特别“有抵抗力” （Prelle-Singer 方法的扩展）。在本文中，我们概括了 S 函数方法，使其能够处理一类基本的 2ODE。我们还在计算包 S++ 中展示了该方法的 Maple 实现，该包旨在提供一组工具，允许用户分析广义 S 函数方法的中间步骤。最后，我们将此方法应用于 Duffing-Van der Pol 强制振荡器，获得全新的一类第一积分。程序概要 程序名称：S++ – S 函数方法的概括。程序文件 doi：http://dx.doi.org/10.17632/wr636kbd9m.1 许可条款：CC BY NC 3.0 编程语言：Maple 17. 问题性质：搜索基本 2ODE 的第一积分。求解方法：求解方法基于本文中描述的算法。包括限制和异常特征在内的其他评论：如果正在分析的 2ODE 在 ( x , y , z ) 或初等函数中表现出非常高的度数，则该方法可能无法正常工作。我们的实现可以处理呈现初等函数的 2ODE，并在许多情况下找到一阶积分，在这些情况下，其他强大的求解器无法减少所研究的 2ODE。除此之外，该软件包还提供了一些有用的研究命令。S + + – S 函数方法的推广。程序文件 doi：http://dx.doi.org/10.17632/wr636kbd9m.1 许可条款：CC BY NC 3.0 编程语言：Maple 17. 问题性质：搜索基本 2ODE 的第一积分。求解方法：求解方法基于本文中描述的算法。包括限制和异常特征在内的其他评论：如果正在分析的 2ODE 在 ( x , y , z ) 或初等函数中表现出非常高的度数，则该方法可能无法正常工作。我们的实现可以处理呈现初等函数的 2ODE，并在许多情况下找到一阶积分，在这些情况下，其他强大的求解器无法减少所研究的 2ODE。除此之外，该软件包还提供了一些有用的研究命令。S + + – S 函数方法的推广。程序文件 doi：http://dx.doi.org/10.17632/wr636kbd9m.1 许可条款：CC BY NC 3.0 编程语言：Maple 17. 问题性质：搜索基本 2ODE 的第一积分。求解方法：求解方法基于本文中描述的算法。包括限制和异常特征在内的其他评论：如果正在分析的 2ODE 在 ( x , y , z ) 或初等函数中表现出非常高的度数，则该方法可能无法正常工作。我们的实现可以处理呈现初等函数的 2ODE，并在许多情况下找到一阶积分，在这些情况下，其他强大的求解器无法减少所研究的 2ODE。除此之外，该软件包还提供了一些有用的研究命令。17632/wr636kbd9m.1 许可条款：CC BY NC 3.0 编程语言：Maple 17. 问题性质：搜索基本 2ODE 的第一积分。求解方法：求解方法基于本文中描述的算法。包括限制和异常特征在内的其他评论：如果正在分析的 2ODE 在 ( x , y , z ) 或初等函数中表现出非常高的度数，则该方法可能无法正常工作。我们的实现可以处理呈现初等函数的 2ODE，并在许多情况下找到一阶积分，在这些情况下，其他强大的求解器无法减少所研究的 2ODE。除此之外，该软件包还提供了一些有用的研究命令。17632/wr636kbd9m.1 许可条款：CC BY NC 3.0 编程语言：Maple 17. 问题性质：搜索基本 2ODE 的第一积分。求解方法：求解方法基于本文中描述的算法。包括限制和异常特征在内的其他评论：如果正在分析的 2ODE 在 ( x , y , z ) 或初等函数中表现出非常高的度数，则该方法可能无法正常工作。我们的实现可以处理呈现初等函数的 2ODE，并在许多情况下找到一阶积分，在这些情况下，其他强大的求解器无法减少所研究的 2ODE。除此之外，该软件包还提供了一些有用的研究命令。求解方法：求解方法基于本文中描述的算法。包括限制和异常特征在内的其他评论：如果正在分析的 2ODE 在 ( x , y , z ) 或初等函数中表现出非常高的度数，则该方法可能无法正常工作。我们的实现可以处理呈现初等函数的 2ODE，并在许多情况下找到一阶积分，在这些情况下，其他强大的求解器无法减少所研究的 2ODE。除此之外，该软件包还提供了一些有用的研究命令。求解方法：求解方法基于本文中描述的算法。包括限制和异常特征在内的其他评论：如果正在分析的 2ODE 在 ( x , y , z ) 或初等函数中表现出非常高的度数，则该方法可能无法正常工作。我们的实现可以处理呈现初等函数的 2ODE，并在许多情况下找到一阶积分，在这些情况下，其他强大的求解器无法减少所研究的 2ODE。除此之外，该软件包还提供了一些有用的研究命令。我们的实现可以处理呈现初等函数的 2ODE，并在许多情况下找到一阶积分，在这些情况下，其他强大的求解器无法减少所研究的 2ODE。除此之外，该软件包还提供了一些有用的研究命令。我们的实现可以处理呈现初等函数的 2ODE，并在许多情况下找到一阶积分，在这些情况下，其他强大的求解器无法减少所研究的 2ODE。除此之外，该软件包还提供了一些有用的研究命令。