Finding graph indices which are unbiased to network size and density is of high importance both within a given field and across fields for enhancing comparability of modern network science studies. The degree variance is an important metric for characterising network degree heterogeneity. Here, we provide an analytically valid normalisation of degree variance to replace previous normalisations which are either invalid or not applicable to all networks. It is shown that this normalisation provides equal values for graphs and their complements; it is maximal in the star graph (and its complement); and its expected value is constant with respect to density for Erd\"os-R\'enyi (ER) random graphs of the same size. We strengthen these results with model observations in ER random graphs, random geometric graphs, scale-free networks, random hierarchy networks and resting-state brain networks, showing that the proposed normalisation is generally less affected by both network size and density than previous normalisation attempts. The closed form expression proposed also benefits from high computational efficiency and straightforward mathematical analysis. Analysis of 184 real-world binary networks across different disciplines shows that normalised degree variance is not correlated with average degree and is robust to node and edge subsampling. Comparisons across subdomains of biological networks reveals greater degree heterogeneity among brain connectomes and food webs than in protein interaction networks.

中文翻译：

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标准化程度方差

寻找与网络大小和密度无关的图索引对于提高现代网络科学研究的可比性在给定领域内和跨领域都非常重要。度方差是表征网络度异质性的重要指标。在这里，我们提供了一个分析上有效的度方差归一化，以替换以前无效或不适用于所有网络的归一化。结果表明，这种归一化为图及其补集提供了相等的值；它在星图（及其补集）中最大；对于相同大小的 Erd\"os-R\'enyi (ER) 随机图，其期望值相对于密度是恒定的。我们通过 ER 随机图、随机几何图、无标度网络中的模型观察加强了这些结果, 随机层次网络和静息状态大脑网络，表明所提出的归一化通常比以前的归一化尝试受网络大小和密度的影响更小。所提出的封闭形式表达式还得益于高计算效率和直接的数学分析。对不同学科的 184 个真实世界二元网络的分析表明，归一化程度方差与平均程度无关，并且对节点和边子采样具有鲁棒性。生物网络子域之间的比较揭示了大脑连接组和食物网之间比蛋白质相互作用网络更大程度的异质性。表明提议的归一化通常比以前的归一化尝试受网络大小和密度的影响更小。所提出的封闭形式表达式还得益于高计算效率和直接的数学分析。对不同学科的 184 个真实世界二元网络的分析表明，归一化程度方差与平均程度无关，并且对节点和边子采样具有鲁棒性。生物网络子域之间的比较揭示了大脑连接组和食物网之间比蛋白质相互作用网络更大程度的异质性。表明提议的归一化通常比以前的归一化尝试受网络大小和密度的影响更小。所提出的封闭形式表达式还得益于高计算效率和直接的数学分析。对不同学科的 184 个真实世界二元网络的分析表明，归一化程度方差与平均程度无关，并且对节点和边子采样具有鲁棒性。生物网络子域之间的比较揭示了大脑连接组和食物网之间比蛋白质相互作用网络更大程度的异质性。对不同学科的 184 个真实世界二元网络的分析表明，归一化程度方差与平均程度无关，并且对节点和边子采样具有鲁棒性。生物网络子域之间的比较揭示了大脑连接组和食物网之间比蛋白质相互作用网络更大程度的异质性。对不同学科的 184 个真实世界二元网络的分析表明，归一化程度方差与平均程度无关，并且对节点和边子采样具有鲁棒性。生物网络子域之间的比较揭示了大脑连接组和食物网之间比蛋白质相互作用网络更大程度的异质性。