It has recently been established that the numerical solution of ordinary differential equations can be posed as a nonlinear Bayesian inference problem, which can be approximately solved via Gaussian filtering and smoothing, whenever a Gauss--Markov prior is used. In this paper the class of $\nu$ times differentiable linear time invariant Gauss--Markov priors is considered. A taxonomy of Gaussian estimators is established, with the maximum a posteriori estimate at the top of the hierarchy, which can be computed with the iterated extended Kalman smoother. The remaining three classes are termed explicit, semi-implicit, and implicit, which are in similarity with the classical notions corresponding to conditions on the vector field, under which the filter update produces a local maximum a posteriori estimate. The maximum a posteriori estimate corresponds to an optimal interpolant in the reproducing Hilbert space associated with the prior, which in the present case is equivalent to a Sobolev space of smoothness $\nu+1$. Consequently, using methods from scattered data approximation and nonlinear analysis in Sobolev spaces, it is shown that the maximum a posteriori estimate converges to the true solution at a polynomial rate in the fill-distance (maximum step size) subject to mild conditions on the vector field. The methodology developed provides a novel and more natural approach to study the convergence of these estimators than classical methods of convergence analysis. The methods and theoretical results are demonstrated in numerical examples.

中文翻译：

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贝叶斯 ODE 求解器：最大后验估计

最近已经确定，常微分方程的数值解可以作为非线性贝叶斯推理问题提出，只要使用高斯-马尔可夫先验，就可以通过高斯滤波和平滑来近似求解。本文考虑了$\nu$乘以可微线性时不变高斯-马尔可夫先验的类。建立了高斯估计量的分类法，最大后验估计在层次结构的顶部，可以用迭代扩展卡尔曼平滑器计算。其余三类被称为显式、半隐式和隐式，它们与对应于向量场条件的经典概念相似，在这种情况下，滤波器更新产生局部最大值后验估计。后验估计的最大值对应于与先验相关的再生希尔伯特空间中的最佳插值，在当前情况下相当于平滑度 $\nu+1$ 的 Sobolev 空间。因此，使用来自 Sobolev 空间中的分散数据近似和非线性分析的方法，表明最大后验估计在填充距离（最大步长）中以多项式速率收敛到真实解，受制于向量的温和条件场地。与经典的收敛分析方法相比，所开发的方法提供了一种新颖且更自然的方法来研究这些估计量的收敛性。方法和理论结果在数值例子中得到了证明。在本例中，它相当于平滑度 $\nu+1$ 的 Sobolev 空间。因此，使用来自 Sobolev 空间中的分散数据近似和非线性分析的方法，表明最大后验估计在填充距离（最大步长）中以多项式速率收敛到真实解，受制于向量的温和条件场地。与经典的收敛分析方法相比，所开发的方法提供了一种新颖且更自然的方法来研究这些估计量的收敛性。在数值例子中证明了方法和理论结果。在本例中，它相当于平滑度 $\nu+1$ 的 Sobolev 空间。因此，使用来自 Sobolev 空间中的分散数据近似和非线性分析的方法，表明最大后验估计在填充距离（最大步长）中以多项式速率收敛到真实解，受制于向量的温和条件场地。与经典的收敛分析方法相比，所开发的方法提供了一种新颖且更自然的方法来研究这些估计量的收敛性。方法和理论结果在数值例子中得到了证明。结果表明，在向量场的温和条件下，最大后验估计以填充距离（最大步长）中的多项式速率收敛到真实解。与经典的收敛分析方法相比，所开发的方法提供了一种新颖且更自然的方法来研究这些估计量的收敛性。方法和理论结果在数值例子中得到了证明。结果表明，在向量场的温和条件下，最大后验估计以填充距离（最大步长）中的多项式速率收敛到真实解。与经典的收敛分析方法相比，所开发的方法提供了一种新颖且更自然的方法来研究这些估计量的收敛性。方法和理论结果在数值例子中得到了证明。