Given a fixed graph $H$ that embeds in a surface $\Sigma$, what is the maximum number of copies of $H$ in an $n$-vertex graph $G$ that embeds in $\Sigma$? We show that the answer is $\Theta(n^{f(H)})$, where $f(H)$ is a graph invariant called the `flap-number' of $H$, which is independent of $\Sigma$. This simultaneously answers two open problems posed by Eppstein (1993). When $H$ is a complete graph we give more precise answers.

中文翻译：

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表面中的子图密度

给定一个嵌入面 $\Sigma$ 的固定图 $H$，$H$ 在嵌入 $\Sigma$ 的 $n$-顶点图 $G$ 中的最大副本数是多少？我们证明答案是 $\Theta(n^{f(H)})$，其中 $f(H)$ 是称为 $H$ 的 `flap-number' 的图不变量，它与 $\ 无关西格玛$。这同时回答了 Eppstein (1993) 提出的两个开放性问题。当 $H$ 是一个完整的图形时，我们会给出更精确的答案。