Let $k$ be an algebraically closed field, $\mathop{char}(k) = p \geq 2$ and $E_r$ be a $p$-elementary abelian group of rank $r \geq 2$. Let $(c,d) \in \mathbb{N}^2$. We show that there exists an indecomposable module of constant Jordan type $[1]^c [2]^d$ and Loewy length $2$ if and only if $q_{\Gamma_r}(d,d+c) \leq 1$ and $c \geq r-1$, where $q_{\Gamma_r}(x,y) := x^2 + y^2-rxy$ denotes the Tits form of the generalized Kronecker quiver $\Gamma_r$. Since $p > 2$ and constant Jordan type $[1]^c [2]^d$ imply Loewy length $\leq 2$, we get in this case the full classification of Jordan types $[1]^c [2]^d$ that arise from indecomposable modules.

中文翻译：

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不可分解的 Jordan 类型 Loewy 长度 2

令 $k$ 是一个代数闭域，$\mathop{char}(k) = p \geq 2$ 和 $E_r$ 是一个 $p$-阶为 $r \geq 2$ 的初等阿贝尔群。让 $(c,d) \in \mathbb{N}^2$。我们证明存在一个不可分解的常量 Jordan 类型 $[1]^c [2]^d$ 和 Loewy 长度 $2$ 当且仅当 $q_{\Gamma_r}(d,d+c) \leq 1$和 $c \geq r-1$，其中 $q_{\Gamma_r}(x,y) := x^2 + y^2-rxy$ 表示广义 Kronecker 箭袋 $\Gamma_r$ 的 Tits 形式。由于 $p > 2$ 和常量 Jordan 类型 $[1]^c [2]^d$ 意味着 Loewy 长度 $\leq 2$，我们在这种情况下得到了 Jordan 类型 $[1]^c [2] 的完整分类]^d$ 来自不可分解的模块。