A system of polynomial ordinary differential equations (ODEs) is specified via a vector of multivariate polynomials, or vector field, $F$. A safety assertion $\psi\rightarrow[F]\phi$ means that the trajectory of the system will lie in a subset $\phi$ (the postcondition) of the state-space, whenever the initial state belongs to a subset $\psi$ (the precondition). We consider the case when $\phi$ and $\psi$ are algebraic varieties, that is, zero sets of polynomials. In particular, polynomials specifying the postcondition can be seen as a system's conservation laws implied by $\psi$. Checking the validity of algebraic safety assertions is a fundamental problem in, for instance, hybrid systems. We consider a generalized version of this problem, and offer an algorithm that, given a user specified polynomial set $P$ and an algebraic precondition $\psi$, finds the largest subset of polynomials in $P$ implied by $\psi$ (relativized strongest postcondition). Under certain assumptions on $\phi$, this algorithm can also be used to find the largest algebraic invariant included in $\phi$ and the weakest algebraic precondition for $\phi$. Applications to continuous semialgebraic systems are also considered. The effectiveness of the proposed algorithm is demonstrated on several case studies from the literature.

中文翻译：

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多项式 ODE 中代数最强后置条件和最弱前置条件的完整算法

多项式常微分方程 (ODE) 系统通过多元多项式向量或向量场 $F$ 指定。安全断言 $\psi\rightarrow[F]\phi$ 意味着系统的轨迹将位于状态空间的子集 $\phi$（后置条件）中，只要初始状态属于子集 $\ psi$（前提条件）。我们考虑 $\phi$ 和 $\psi$ 是代数变体的情况，即多项式的零集。特别是，指定后置条件的多项式可以看作是 $\psi$ 隐含的系统守恒定律。检查代数安全断言的有效性是例如混合系统中的一个基本问题。我们考虑这个问题的广义版本，并提供一个算法，给定用户指定的多项式集 $P$ 和代数前置条件 $\psi$，找到 $P$ 中由 $\psi$ 隐含的多项式的最大子集（相对化最强后置条件）。在 $\phi$ 的某些假设下，该算法还可以用于找到 $\phi$ 中包含的最大代数不变量和 $\phi$ 的最弱代数前提条件。还考虑了对连续半代数系统的应用。所提出算法的有效性在文献中的几个案例研究中得到了证明。还考虑了对连续半代数系统的应用。所提出算法的有效性在文献中的几个案例研究中得到了证明。还考虑了对连续半代数系统的应用。所提出算法的有效性在文献中的几个案例研究中得到了证明。