Given a finite point set P in general position in the plane, a full triangulation is a maximal straight-line embedded plane graph on P. A partial triangulation is a full triangulation of some subset P' of P containing all extreme points in P. A bistellar flip on a partial triangulation flips an edge (an edge flip), removes a non-extreme point of degree 3, or adds a point in P \ P' as vertex of degree 3. The bistellar flip graph has all partial triangulations as vertices, and a pair of partial triangulations is adjacent if they can be obtained from one another by a bistellar flip. The edge flip graph is defined with full triangulations as vertices, and edge flips determining the adjacencies. Lawson showed in the early 70s that these graphs are connected. Our goal is to investigate these graphs, with emphasis on vertex connectivity. For sets of n points in the plane in general position, we show that the edge flip graph is (n/2-2)-connected, and the bistellar flip graph is (n-3)-connected; both results are tight. The latter bound matches the situation for the subfamily of regular triangulations, ie. partial triangulations obtained by lifting the points to 3-space and projecting back the lower convex hull. Here (n-3)-connectivity has been known since the late 80s via the secondary polytope due to Gelfand, Kapranov & Zelevinsky and Balinski's Theorem. For the edge flip-graphs, the vertex connectivity can be shown to be at least as large as (and hence equal to) the minimum degree, provided n is large enough. Our methods yield several other results.

中文翻译：

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平面内三角剖分翻转图的连通性

给定平面中一般位置的有限点集 P，全三角剖分是 P 上的最大直线嵌入平面图。部分三角剖分是 P 的某个子集 P' 的全三角剖分，其中包含 P 中的所有极值点。部分三角剖分上的双星翻转翻转一条边（边缘翻转），移除一个 3 度的非极值点，或在 P\P' 中添加一个点作为 3 度的顶点。双星翻转图将所有部分三角剖分作为顶点，并且如果可以通过双星翻转从彼此获得一对部分三角剖分，则它们是相邻的。边翻转图以完整的三角剖分定义为顶点，边翻转确定邻接。劳森在 70 年代初表明，这些图是相互关联的。我们的目标是研究这些图，重点是顶点连通性。对于平面中处于一般位置的 n 个点的集合，我们证明边翻转图是 (n/2-2)-连通的，双星翻转图是 (n-3)-连通的；两个结果都很紧张。后者的界限与正则三角剖分的子族的情况相匹配，即。通过将点提升到 3 空间并将下凸包向后投影获得的部分三角剖分。由于 Gelfand、Kapranov 和 Zelevinsky 以及巴林斯基定理，自 80 年代后期以来，(n-3)-连通性通过次生多胞体就已为人所知。对于边翻转图，只要 n 足够大，顶点连接可以显示为至少与最小度一样大（因此等于）。我们的方法产生了其他几个结果。双星翻转图是(n-3)-连通的；两个结果都很紧张。后者的界限与正则三角剖分的子族的情况相匹配，即。通过将点提升到 3 空间并将下凸包向后投影获得的部分三角剖分。由于 Gelfand、Kapranov 和 Zelevinsky 以及巴林斯基定理，自 80 年代后期以来，(n-3)-连通性通过次生多胞体就已为人所知。对于边翻转图，只要 n 足够大，顶点连接可以显示为至少与最小度一样大（因此等于）。我们的方法产生了其他几个结果。双星翻转图是(n-3)-连通的；两个结果都很紧张。后者的界限与正则三角剖分的子族的情况相匹配，即。通过将点提升到 3 空间并将下凸包向后投影获得的部分三角剖分。由于 Gelfand、Kapranov 和 Zelevinsky 以及巴林斯基定理，自 80 年代后期以来，(n-3)-连通性通过次生多胞体就已为人所知。对于边翻转图，只要 n 足够大，顶点连接可以显示为至少与最小度一样大（因此等于）。我们的方法产生了其他几个结果。通过将点提升到 3 空间并将下凸包向后投影获得的部分三角剖分。由于 Gelfand、Kapranov 和 Zelevinsky 以及巴林斯基定理，自 80 年代后期以来，(n-3)-连通性通过次生多胞体就已为人所知。对于边翻转图，只要 n 足够大，顶点连接可以显示为至少与最小度一样大（因此等于）。我们的方法产生了其他几个结果。通过将点提升到 3 空间并将下凸包向后投影获得的部分三角剖分。由于 Gelfand、Kapranov 和 Zelevinsky 以及巴林斯基定理，自 80 年代后期以来，通过次生多胞体已知 (n-3)-连通性。对于边翻转图，只要 n 足够大，顶点连接可以显示为至少与最小度一样大（因此等于）。我们的方法产生了其他几个结果。