We study the Cantor--Bendixson rank of the space of subgroups for members of a general class of finitely generated self-replicating branch groups. In particular, we show for $G$ either the Grigorchuk group or the Gupta--Sidki $3$ group, the Cantor--Bendixson rank of $\mathrm{Sub}(G)$ is $\omega$. For each natural number $n$, we additionally characterize the subgroups of rank $n$ and give a description of subgroups in the perfect kernel.

中文翻译：

---

关于 Grigorchuk 组和 Gupta-Sidki 3 组的 Cantor-Bendixson 秩

我们研究了有限生成的自我复制分支群的一般类成员的子群空间的康托-本迪克森秩。特别是，我们证明了对于 $G$ 的 Grigorchuk 组或 Gupta--Sidki $3$ 组，$\mathrm{Sub}(G)$ 的 Cantor--Bendixson 秩是 $\omega$。对于每个自然数 $n$，我们额外刻画了秩 $n$ 的子群，并给出了完美核中子群的描述。