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Generic bivariate multi-point evaluation, interpolation and modular composition with precomputation
arXiv - CS - Symbolic Computation Pub Date : 2020-03-27 , DOI: arxiv-2003.12468 Vincent Neiger and Johan Rosenkilde and Grigory Solomatov
arXiv - CS - Symbolic Computation Pub Date : 2020-03-27 , DOI: arxiv-2003.12468 Vincent Neiger and Johan Rosenkilde and Grigory Solomatov
Suppose $\mathbb{K}$ is a large enough field and $\mathcal{P} \subset
\mathbb{K}^2$ is a fixed, generic set of points which is available for
precomputation. We introduce a technique called \emph{reshaping} which allows
us to design quasi-linear algorithms for both: computing the evaluations of an
input polynomial $f \in \mathbb{K}[x,y]$ at all points of $\mathcal{P}$; and
computing an interpolant $f \in \mathbb{K}[x,y]$ which takes prescribed values
on $\mathcal{P}$ and satisfies an input $y$-degree bound. Our genericity
assumption is explicit and we prove that it holds for most point sets over a
large enough field. If $\mathcal{P}$ violates the assumption, our algorithms
still work and the performance degrades smoothly according to a distance from
being generic. To show that the reshaping technique may have an impact on other
related problems, we apply it to modular composition: suppose generic
polynomials $M \in \mathbb{K}[x]$ and $A \in \mathbb{K}[x]$ are available for
precomputation, then given an input $f \in \mathbb{K}[x,y]$ we show how to
compute $f(x, A(x)) \operatorname{rem} M(x)$ in quasi-linear time.
中文翻译:
具有预计算的通用双变量多点评估、插值和模块化组合
假设 $\mathbb{K}$ 是一个足够大的字段,而 $\mathcal{P} \subset \mathbb{K}^2$ 是一个固定的通用点集,可用于预计算。我们引入了一种称为 \emph{reshaping} 的技术,它允许我们为两者设计拟线性算法:计算输入多项式 $f \in \mathbb{K}[x,y]$ 在 $\ 的所有点的评估数学{P}$; 并计算一个插值 $f \in \mathbb{K}[x,y]$ ,它在 $\mathcal{P}$ 上取指定值并满足输入 $y$-degree 界限。我们的通用性假设是明确的,我们证明它适用于足够大的领域上的大多数点集。如果 $\mathcal{P}$ 违反假设,我们的算法仍然有效,并且性能会根据与泛型的距离平滑下降。为了表明重塑技术可能对其他相关问题产生影响,
更新日期:2020-06-05
中文翻译:
具有预计算的通用双变量多点评估、插值和模块化组合
假设 $\mathbb{K}$ 是一个足够大的字段,而 $\mathcal{P} \subset \mathbb{K}^2$ 是一个固定的通用点集,可用于预计算。我们引入了一种称为 \emph{reshaping} 的技术,它允许我们为两者设计拟线性算法:计算输入多项式 $f \in \mathbb{K}[x,y]$ 在 $\ 的所有点的评估数学{P}$; 并计算一个插值 $f \in \mathbb{K}[x,y]$ ,它在 $\mathcal{P}$ 上取指定值并满足输入 $y$-degree 界限。我们的通用性假设是明确的,我们证明它适用于足够大的领域上的大多数点集。如果 $\mathcal{P}$ 违反假设,我们的算法仍然有效,并且性能会根据与泛型的距离平滑下降。为了表明重塑技术可能对其他相关问题产生影响,