A set $A$ $t$-intersects a set $B$ if $A$ and $B$ have at least $t$ common elements. Families $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \dots, \mathcal{A}_k$ of sets are cross-$t$-intersecting if, for every $i$ and $j$ in $\{1, 2, \dots, k\}$ with $i \neq j$, each set in $\mathcal{A}_i$ $t$-intersects each set in $\mathcal{A}_j$. An active problem in extremal set theory is to determine, for a given finite family $\mathcal{F}$, the structure of $k$ cross-$t$-intersecting subfamilies whose sum or product of sizes is maximum. For a family $\mathcal{H}$, the $r$-th level $\mathcal{H}^{(r)}$ of $\mathcal{H}$ is the family of all sets in $\mathcal{H}$ of size $r$, and, for $s \leq r$, $\mathcal{H}^{(s)}$ is called a $(\leq r)$-level of $\mathcal{H}$. We solve the problem for any union $\mathcal{F}$ of $(\leq r)$-levels of any union $\mathcal{H}$ of power sets of sets of size at least a certain integer $n_0$, where $n_0$ is independent of $\mathcal{H}$ and $k$ but depends on $r$ and $t$ (dependence on $r$ is inevitable, but dependence on $t$ can be avoided). Our primary result asserts that there are only two possible optimal configurations for the sum. A special case was conjectured by Kamat in 2011. We also prove generalizations, whereby $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \dots, \mathcal{A}_k$ are not necessarily contained in the same union of levels. Various Erd\H{o}s-Ko-Rado-type results follow. The sum problem for a level of a power set was solved for $t=1$ by Hilton in 1977, and for any $t$ by Wang and Zhang in 2011.

中文翻译：

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世袭家族层次的交叉亚家族

如果 $A$ 和 $B$ 至少具有 $t$ 公共元素，则集合 $A$ $t$ 与集合 $B$ 相交。集合的族 $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \dots, \mathcal{A}_k$ 是交叉 $t$ 相交的，如果对于 $\ 中的每个 $i$ 和 $j$ {1, 2, \dots, k\}$ 与 $i \neq j$，$\mathcal{A}_i$ $t$ 中的每个集合与 $\mathcal{A}_j$ 中的每个集合相交。极值集理论中的一个活跃问题是，对于给定的有限族 $\mathcal{F}$，确定 $k$ 跨 $t$ 相交的子族的结构，其大小的总和或乘积最大。对于族 $\mathcal{H}$，$\mathcal{H}$ 的第 $r$ 级 $\mathcal{H}^{(r)}$ 是 $\mathcal{ 中所有集合的族大小为 $r$ 的 H}$，对于 $s \leq r$，$\mathcal{H}^{(s)}$ 被称为 $\mathcal{H 的 $(\leq r)$-level }$。我们解决了大小至少为某个整数 $n_0$ 的幂集的任何联合 $\mathcal{H}$ 的 $(\leq r)$-levels 的任何联合 $\mathcal{F}$ 的问题，其中 $n_0$ 独立于 $\mathcal{H}$ 和 $k$ 但取决于 $r$ 和 $t$（对 $r$ 的依赖是不可避免的，但对 $t$ 的依赖是可以避免的）。我们的主要结果断言，总和只有两种可能的最佳配置。Kamat 在 2011 年推测了一个特例。 我们也证明了泛化，其中 $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \dots, \mathcal{A}_k$ 不一定包含在相同的联合中水平。各种 Erd\H{o}s-Ko-Rado 型结果如下。希尔顿在 1977 年为 $t=1$ 解决了幂集水平的总和问题，而 Wang 和 Zhang 在 2011 年解决了任何 $t$。其中 $n_0$ 独立于 $\mathcal{H}$ 和 $k$ 但取决于 $r$ 和 $t$（对 $r$ 的依赖是不可避免的，但对 $t$ 的依赖是可以避免的）。我们的主要结果断言，总和只有两种可能的最佳配置。Kamat 在 2011 年推测了一个特例。 我们也证明了泛化，其中 $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \dots, \mathcal{A}_k$ 不一定包含在相同的联合中水平。各种 Erd\H{o}s-Ko-Rado 型结果如下。希尔顿在 1977 年为 $t=1$ 解决了幂集水平的总和问题，而 Wang 和 Zhang 在 2011 年解决了任何 $t$。其中 $n_0$ 独立于 $\mathcal{H}$ 和 $k$ 但取决于 $r$ 和 $t$（对 $r$ 的依赖是不可避免的，但对 $t$ 的依赖是可以避免的）。我们的主要结果断言，总和只有两种可能的最佳配置。Kamat 在 2011 年推测了一个特例。 我们也证明了泛化，其中 $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \dots, \mathcal{A}_k$ 不一定包含在相同的联合中水平。各种 Erd\H{o}s-Ko-Rado 型结果如下。希尔顿在 1977 年为 $t=1$ 解决了幂集水平的总和问题，而 Wang 和 Zhang 在 2011 年解决了任何 $t$。Kamat 在 2011 年推测了一个特例。 我们也证明了泛化，其中 $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \dots, \mathcal{A}_k$ 不一定包含在相同的联合中水平。各种 Erd\H{o}s-Ko-Rado 型结果如下。希尔顿在 1977 年为 $t=1$ 解决了幂集水平的总和问题，而 Wang 和 Zhang 在 2011 年解决了任何 $t$。Kamat 在 2011 年推测了一个特例。 我们也证明了泛化，其中 $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \dots, \mathcal{A}_k$ 不一定包含在相同的联合中水平。各种 Erd\H{o}s-Ko-Rado 型结果如下。希尔顿在 1977 年为 $t=1$ 解决了幂集水平的总和问题，而 Wang 和 Zhang 在 2011 年解决了任何 $t$。