We study the complexity of various fundamental counting problems that arise in the context of incomplete databases, i.e., relational databases that can contain unknown values in the form of labeled nulls. Specifically, we assume that the domains of these unknown values are finite and, for a Boolean query $q$, we consider the following two problems: given as input an incomplete database $D$, (a) return the number of completions of $D$ that satisfy $q$; or (b) return or the number of valuations of the nulls of $D$ yielding a completion that satisfies $q$. We obtain dichotomies between #P-hardness and polynomial-time computability for these problems when $q$ is a self-join--free conjunctive query, and study the impact on the complexity of the following two restrictions: (1) every null occurs at most once in $D$ (what is called Codd tables); and (2) the domain of each null is the same. Roughly speaking, we show that counting completions is much harder than counting valuations (for instance, while the latter is always in #P, we prove that the former is not in #P under some widely believed theoretical complexity assumption). Moreover, we find that both (1) and (2) reduce the complexity of our problems. We also study the approximability of these problems and show that, while counting valuations always has a fully polynomial randomized approximation scheme, in most cases counting completions does not. Finally, we consider more expressive query languages and situate our problems with respect to known complexity classes.

中文翻译：

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不完整数据库的计数问题

我们研究了在不完整数据库的上下文中出现的各种基本计数问题的复杂性，即可以包含标记空值形式的未知值的关系数据库。具体来说，我们假设这些未知值的域是有限的，对于布尔查询 $q$，我们考虑以下两个问题：给定一个不完整的数据库 $D$ 作为输入，(a) 返回 $ 的完成次数满足 $q$ 的 D$；或 (b) 返回或产生满足 $q$ 的完成的 $D$ 的空值的估值数量。当 $q$ 是无自连接的联合查询时，我们针对这些问题获得了#P-hardness 和多项式时间可计算性之间的二分法，并研究了以下两个限制对复杂性的影响：（1）每个空值发生在 $D$ 中最多一次（所谓的 Codd 表）；(2) 每个空值的定义域是相同的。粗略地说，我们表明计算完成比计算估值要困难得多（例如，虽然后者总是在 #P 中，但我们证明，在一些广泛相信的理论复杂性假设下，前者不在 #P 中）。此外，我们发现（1）和（2）都降低了我们问题的复杂性。我们还研究了这些问题的近似性，并表明，虽然计算估值总是有一个完全多项式随机近似方案，但在大多数情况下，计算完成情况却没有。最后，我们考虑更具表现力的查询语言，并将我们的问题定位于已知的复杂性类。而后者总是在#P 中，我们证明前者在一些广泛相信的理论复杂性假设下不在#P 中）。此外，我们发现（1）和（2）都降低了我们问题的复杂性。我们还研究了这些问题的近似性，并表明，虽然计算估值总是有一个完全多项式随机近似方案，但在大多数情况下，计算完成情况却没有。最后，我们考虑更具表现力的查询语言，并将我们的问题定位于已知的复杂性类。而后者总是在#P 中，我们证明前者在一些广泛相信的理论复杂性假设下不在#P 中）。此外，我们发现（1）和（2）都降低了我们问题的复杂性。我们还研究了这些问题的近似性，并表明，虽然计算估值总是有一个完全多项式随机近似方案，但在大多数情况下，计算完成情况却没有。最后，我们考虑更具表现力的查询语言，并将我们的问题定位于已知的复杂性类。虽然计数估值总是有一个完全多项式随机近似方案，但在大多数情况下，计数完成没有。最后，我们考虑更具表现力的查询语言，并将我们的问题定位于已知的复杂性类。虽然计数估值总是有一个完全多项式随机近似方案，但在大多数情况下，计数完成没有。最后，我们考虑更具表现力的查询语言，并将我们的问题定位于已知的复杂性类。