The classes PPA-$p$ have attracted attention lately, because they are the main candidates for capturing the complexity of Necklace Splitting with $p$ thieves, for prime $p$. However, these classes are not known to have complete problems of a topological nature, which impedes any progress towards settling the complexity of the problem. On the contrary, such problems have been pivotal in obtaining completeness results for PPAD and PPA, for several important problems, such as finding a Nash equilibrium [Daskalakis et al., 2009, Chen et al., 2009b] and Necklace Splitting with 2 thieves [Filos-Ratsikas and Goldberg, 2019]. In this paper, we provide the first topological characterization of the classes PPA-$p$. First, we show that the computational problem associated with a simple generalization of Tucker's Lemma, termed $p$-polygon-Tucker, as well as the associated Borsuk-Ulam-type theorem, $p$-polygon-Borsuk-Ulam, are PPA-$p$-complete. Then, we show that the computational version of the well-known BSS Theorem [Barany et al., 1981], as well as the associated BSS-Tucker problem are PPA-$p$-complete. Finally, using a different generalization of Tucker's Lemma (termed $\mathbb{Z}_p$-star-Tucker), which we prove to be PPA-$p$-complete, we prove that $p$-thieves Necklace Splitting is in PPA-$p$. All of our containment results are obtained through a new combinatorial proof for $\mathbb{Z}_p$-versions of Tucker's lemma that is a natural generalization of the standard combinatorial proof of Tucker's lemma by Freund and Todd [1981]. We believe that this new proof technique is of independent interest.

中文翻译：

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Modulo-p 参数的拓扑特征和项链分裂的含义

类 PPA-$p$ 最近引起了人们的注意，因为它们是捕获与 $p$ 窃贼的项链分裂复杂性的主要候选者，主要是 $p$。然而，这些类并不知道具有拓扑性质的完整问题，这阻碍了解决问题复杂性的任何进展。相反，这些问题对于获得 PPAD 和 PPA 的完整性结果至关重要，例如寻找纳什均衡 [Daskalakis et al., 2009, Chen et al., 2009b] 和 Necklace Splitting with 2 thieves [Filos-Ratsikas 和 Goldberg，2019 年]。在本文中，我们提供了类 PPA-$p$ 的第一个拓扑特征。首先，我们展示了与 Tucker 引理的简单概括相关的计算问题，称为 $p$-polygon-Tucker，以及相关的 Borsuk-Ulam 型定理 $p$-polygon-Borsuk-Ulam，都是 PPA-$p$-完全的。然后，我们展示了著名的 BSS 定理 [Barany 等人，1981] 的计算版本，以及相关的 BSS-Tucker 问题是 PPA-$p$-complete。最后，使用塔克引理的不同概括（称为 $\mathbb{Z}_p$-star-Tucker），我们证明它是 PPA-$p$-complete，我们证明 $p$-thieves Necklace Splitting 在PPA-$p$。我们所有的包含结果都是通过塔克引理的 $\mathbb{Z}_p$ 版本的新组合证明获得的，这是对 Freund 和 Todd [1981] 的塔克引理标准组合证明的自然推广。我们相信这种新的证明技术具有独立的意义。是 PPA-$p$-完整的。然后，我们展示了著名的 BSS 定理 [Barany 等人，1981] 的计算版本，以及相关的 BSS-Tucker 问题是 PPA-$p$-complete。最后，使用塔克引理的不同概括（称为 $\mathbb{Z}_p$-star-Tucker），我们证明它是 PPA-$p$-complete，我们证明 $p$-thieves Necklace Splitting 在PPA-$p$。我们所有的包含结果都是通过塔克引理的 $\mathbb{Z}_p$ 版本的新组合证明获得的，这是对 Freund 和 Todd [1981] 的塔克引理标准组合证明的自然推广。我们相信这种新的证明技术具有独立的意义。是 PPA-$p$-完整的。然后，我们展示了著名的 BSS 定理 [Barany 等人，1981] 的计算版本，以及相关的 BSS-Tucker 问题是 PPA-$p$-complete。最后，使用塔克引理的不同概括（称为 $\mathbb{Z}_p$-star-Tucker），我们证明它是 PPA-$p$-complete，我们证明 $p$-thieves Necklace Splitting 在PPA-$p$。我们所有的包含结果都是通过塔克引理的 $\mathbb{Z}_p$ 版本的新组合证明获得的，这是对 Freund 和 Todd [1981] 的塔克引理标准组合证明的自然推广。我们相信这种新的证明技术具有独立的意义。以及相关的 BSS-Tucker 问题是 PPA-$p$-complete。最后，使用塔克引理的不同概括（称为 $\mathbb{Z}_p$-star-Tucker），我们证明它是 PPA-$p$-complete，我们证明 $p$-thieves Necklace Splitting 在PPA-$p$。我们所有的包含结果都是通过塔克引理的 $\mathbb{Z}_p$ 版本的新组合证明获得的，这是对 Freund 和 Todd [1981] 的塔克引理标准组合证明的自然推广。我们相信这种新的证明技术具有独立的意义。以及相关的 BSS-Tucker 问题是 PPA-$p$-complete。最后，使用塔克引理的不同概括（称为 $\mathbb{Z}_p$-star-Tucker），我们证明它是 PPA-$p$-complete，我们证明 $p$-thieves Necklace Splitting 在PPA-$p$。我们所有的包含结果都是通过塔克引理的 $\mathbb{Z}_p$ 版本的新组合证明获得的，这是对 Freund 和 Todd [1981] 的塔克引理标准组合证明的自然推广。我们相信这种新的证明技术具有独立的意义。我们所有的包含结果都是通过塔克引理的 $\mathbb{Z}_p$ 版本的新组合证明获得的，这是对 Freund 和 Todd [1981] 的塔克引理标准组合证明的自然推广。我们相信这种新的证明技术具有独立的意义。我们所有的包含结果都是通过塔克引理的 $\mathbb{Z}_p$ 版本的新组合证明获得的，这是对 Freund 和 Todd [1981] 的塔克引理标准组合证明的自然推广。我们相信这种新的证明技术具有独立的意义。