We consider the inhomogeneous semilinear wave equation with linear damping ∂_ttu−Δu+∂_tu=|u|^p+w(t,x) in $(0,\infty )\times {\mathbb{R}}^N$, where p>1 and w≢0. A general criterium for the nonexistence of global weak solutions is established. In the particular case w=ω(x), we obtain the critical exponent in the sense of Fujita (first critical exponent) and the critical exponent in the sense of Lee and Ni (second critical exponent) for the considered problem. Namely, we show that, if $1<p<p^{\ast }(N):=\frac{N}{N-2}$ (p^∗(N)=∞ if N∈{1,2}) and ω ≥ 0, then the problem admits no global weak solution; if p>p^∗(N), then a global solution exists, for some ω>0 and suitable initial values. Moreover, when N ≥ 3 and p>p^∗(N), we prove that for σ<N, if $\sigma <{\sigma }^{\ast }:=\frac{2p}{p-1}$ and ω(x) ≥ C|x|^−σ for |x| large, then there is no global weak solution; if σ^∗ ≤ σ<N, then a global solution exists for some ω>0 with ω(x) ≤ C|x|^−σ for |x| large, and suitable initial values. Next, we extend our study to the case of systems.

中文翻译：

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半线性波动方程和具有线性阻尼项的系统的新临界行为

我们考虑具有线性阻尼的非齐次半线性波动方程∂ _{t t} u -Δ u + ∂ _t u =| 你| ^p + w ( t , x ) 在$(0,\infty )\times {\mathbb{R}}^{ñ}$, 其中p >1 和w ≢0。建立了不存在全局弱解的一般标准。在特定情况下w = ω ( x )，对于所考虑的问题，我们获得了 Fujita 意义上的临界指数（第一临界指数）和 Lee 和 Ni 意义上的临界指数（第二临界指数）。即，我们证明，如果$1<p<p^{*}(ñ)：=\frac{ñ}{ñ-2}$( p ^∗ ( N )= ∞如果N ∈{1,2}) 且ω  ≥ 0，则该问题不存在全局弱解；如果p > p ^∗ ( N )，则存在全局解，对于某些ω >0 和合适的初始值。此外，当N  ≥ 3 且p > p ^∗ ( N ) 时，我们证明对于σ < N，如果$\sigma <{\sigma }^{*}：=\frac{2p}{p-1}$和ω ( x ) ≥  C | x | ^{− σ}为 | x | 大，则不存在全局弱解；如果σ ^∗  ≤  σ < N，则存在一些ω >0 且ω ( x ) ≤  C |的全局解 x | ^{− σ}为 | x | 大且合适的初始值。接下来，我们将研究扩展到系统案例。