We study the Maximum Independent Set problem for geometric objects given in the data stream model. A set of geometric objects is said to be independent if the objects are pairwise disjoint. We consider geometric objects in one and two dimensions, i.e., intervals and disks. Let $\alpha$ be the cardinality of the largest independent set. Our goal is to estimate $\alpha$ in a small amount of space, given that the input is received as a one-pass stream. We also consider a generalization of this problem by assigning weights to each object and estimating $\beta$, the largest value of a weighted independent set. We initialize the study of this problem in the turnstile streaming model (insertions and deletions) and provide the first algorithms for estimating $\alpha$ and $\beta$. For unit-length intervals, we obtain a $(2+\epsilon)$-approximation to $\alpha$ and $\beta$ in poly$(\frac{\log(n)}{\epsilon})$ space. We also show a matching lower bound. Combined with the $3/2$-approximation for insertion-only streams by Cabello and Perez-Lanterno [CP15], our result implies a separation between the insertion-only and turnstile model. For unit-radius disks, we obtain a $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-approximation to $\alpha$ and $\beta$ in poly$(\log(n), \epsilon^{-1})$ space, which is closely related to the hexagonal circle packing constant. We provide algorithms for estimating $\alpha$ for arbitrary-length intervals under a bounded intersection assumption and study the parameterized space complexity of estimating $\alpha$ and $\beta$, where the parameter is the ratio of maximum to minimum interval length.

中文翻译：

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旋转门流中几何对象的加权最大独立集

我们研究数据流模型中给出的几何对象的最大独立集问题。如果对象成对不相交，则称一组几何对象是独立的。我们考虑一维和二维的几何对象，即间隔和圆盘。令 $\alpha$ 为最大独立集的基数。我们的目标是在少量空间中估计 $\alpha$，假设输入是作为单程流接收的。我们还通过为每个对象分配权重并估计加权独立集的最大值 $\beta$ 来考虑这个问题的泛化。我们在旋转门流模型（插入和删除）中初始化了这个问题的研究，并提供了第一个估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的算法。对于单位长度的间隔，我们在 poly$(\frac{\log(n)}{\epsilon})$ 空间中获得了 $(2+\epsilon)$ 对 $\alpha$ 和 $\beta$ 的近似值。我们还展示了一个匹配的下限。结合 Cabello 和 Perez-Lanterno [CP15] 对仅插入流的 $3/2$ 近似值，我们的结果意味着仅插入模型和旋转门模型之间的分离。对于单位半径圆盘，我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log( n), \epsilon^{-1})$ 空间，与六边形圆堆积常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法，并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度，其中参数是最大与最小区间长度的比率。结合 Cabello 和 Perez-Lanterno [CP15] 对仅插入流的 $3/2$ 近似值，我们的结果意味着仅插入模型和旋转门模型之间的分离。对于单位半径圆盘，我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log( n), \epsilon^{-1})$ 空间，与六边形圆堆积常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法，并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度，其中参数是最大与最小区间长度的比率。结合 Cabello 和 Perez-Lanterno [CP15] 对仅插入流的 $3/2$ 近似值，我们的结果意味着仅插入模型和旋转门模型之间的分离。对于单位半径圆盘，我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log( n), \epsilon^{-1})$ 空间，与六边形圆堆积常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法，并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度，其中参数是最大与最小区间长度的比率。我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log(n), \epsilon^ {-1})$ 空间，与六边形圆填充常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法，并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度，其中参数是最大与最小区间长度的比率。我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log(n), \epsilon^ {-1})$ 空间，与六边形圆填充常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法，并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度，其中参数是最大与最小区间长度的比率。