当前位置:
X-MOL 学术
›
arXiv.cs.CG
›
论文详情
Our official English website, www.x-mol.net, welcomes your
feedback! (Note: you will need to create a separate account there.)
Weighted Maximum Independent Set of Geometric Objects in Turnstile Streams
arXiv - CS - Computational Geometry Pub Date : 2019-02-27 , DOI: arxiv-1902.10328 Ainesh Bakshi, Nadiia Chepurko, David P. Woodruff
arXiv - CS - Computational Geometry Pub Date : 2019-02-27 , DOI: arxiv-1902.10328 Ainesh Bakshi, Nadiia Chepurko, David P. Woodruff
We study the Maximum Independent Set problem for geometric objects given in
the data stream model. A set of geometric objects is said to be independent if
the objects are pairwise disjoint. We consider geometric objects in one and two
dimensions, i.e., intervals and disks. Let $\alpha$ be the cardinality of the
largest independent set. Our goal is to estimate $\alpha$ in a small amount of
space, given that the input is received as a one-pass stream. We also consider
a generalization of this problem by assigning weights to each object and
estimating $\beta$, the largest value of a weighted independent set. We
initialize the study of this problem in the turnstile streaming model
(insertions and deletions) and provide the first algorithms for estimating
$\alpha$ and $\beta$. For unit-length intervals, we obtain a $(2+\epsilon)$-approximation to
$\alpha$ and $\beta$ in poly$(\frac{\log(n)}{\epsilon})$ space. We also show a
matching lower bound. Combined with the $3/2$-approximation for insertion-only
streams by Cabello and Perez-Lanterno [CP15], our result implies a separation
between the insertion-only and turnstile model. For unit-radius disks, we
obtain a $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-approximation to $\alpha$ and
$\beta$ in poly$(\log(n), \epsilon^{-1})$ space, which is closely related to
the hexagonal circle packing constant. We provide algorithms for estimating $\alpha$ for arbitrary-length intervals
under a bounded intersection assumption and study the parameterized space
complexity of estimating $\alpha$ and $\beta$, where the parameter is the ratio
of maximum to minimum interval length.
中文翻译:
旋转门流中几何对象的加权最大独立集
我们研究数据流模型中给出的几何对象的最大独立集问题。如果对象成对不相交,则称一组几何对象是独立的。我们考虑一维和二维的几何对象,即间隔和圆盘。令 $\alpha$ 为最大独立集的基数。我们的目标是在少量空间中估计 $\alpha$,假设输入是作为单程流接收的。我们还通过为每个对象分配权重并估计加权独立集的最大值 $\beta$ 来考虑这个问题的泛化。我们在旋转门流模型(插入和删除)中初始化了这个问题的研究,并提供了第一个估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的算法。对于单位长度的间隔,我们在 poly$(\frac{\log(n)}{\epsilon})$ 空间中获得了 $(2+\epsilon)$ 对 $\alpha$ 和 $\beta$ 的近似值。我们还展示了一个匹配的下限。结合 Cabello 和 Perez-Lanterno [CP15] 对仅插入流的 $3/2$ 近似值,我们的结果意味着仅插入模型和旋转门模型之间的分离。对于单位半径圆盘,我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log( n), \epsilon^{-1})$ 空间,与六边形圆堆积常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法,并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度,其中参数是最大与最小区间长度的比率。结合 Cabello 和 Perez-Lanterno [CP15] 对仅插入流的 $3/2$ 近似值,我们的结果意味着仅插入模型和旋转门模型之间的分离。对于单位半径圆盘,我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log( n), \epsilon^{-1})$ 空间,与六边形圆堆积常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法,并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度,其中参数是最大与最小区间长度的比率。结合 Cabello 和 Perez-Lanterno [CP15] 对仅插入流的 $3/2$ 近似值,我们的结果意味着仅插入模型和旋转门模型之间的分离。对于单位半径圆盘,我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log( n), \epsilon^{-1})$ 空间,与六边形圆堆积常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法,并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度,其中参数是最大与最小区间长度的比率。我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log(n), \epsilon^ {-1})$ 空间,与六边形圆填充常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法,并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度,其中参数是最大与最小区间长度的比率。我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log(n), \epsilon^ {-1})$ 空间,与六边形圆填充常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法,并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度,其中参数是最大与最小区间长度的比率。
更新日期:2020-03-26
中文翻译:
旋转门流中几何对象的加权最大独立集
我们研究数据流模型中给出的几何对象的最大独立集问题。如果对象成对不相交,则称一组几何对象是独立的。我们考虑一维和二维的几何对象,即间隔和圆盘。令 $\alpha$ 为最大独立集的基数。我们的目标是在少量空间中估计 $\alpha$,假设输入是作为单程流接收的。我们还通过为每个对象分配权重并估计加权独立集的最大值 $\beta$ 来考虑这个问题的泛化。我们在旋转门流模型(插入和删除)中初始化了这个问题的研究,并提供了第一个估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的算法。对于单位长度的间隔,我们在 poly$(\frac{\log(n)}{\epsilon})$ 空间中获得了 $(2+\epsilon)$ 对 $\alpha$ 和 $\beta$ 的近似值。我们还展示了一个匹配的下限。结合 Cabello 和 Perez-Lanterno [CP15] 对仅插入流的 $3/2$ 近似值,我们的结果意味着仅插入模型和旋转门模型之间的分离。对于单位半径圆盘,我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log( n), \epsilon^{-1})$ 空间,与六边形圆堆积常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法,并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度,其中参数是最大与最小区间长度的比率。结合 Cabello 和 Perez-Lanterno [CP15] 对仅插入流的 $3/2$ 近似值,我们的结果意味着仅插入模型和旋转门模型之间的分离。对于单位半径圆盘,我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log( n), \epsilon^{-1})$ 空间,与六边形圆堆积常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法,并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度,其中参数是最大与最小区间长度的比率。结合 Cabello 和 Perez-Lanterno [CP15] 对仅插入流的 $3/2$ 近似值,我们的结果意味着仅插入模型和旋转门模型之间的分离。对于单位半径圆盘,我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log( n), \epsilon^{-1})$ 空间,与六边形圆堆积常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法,并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度,其中参数是最大与最小区间长度的比率。我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log(n), \epsilon^ {-1})$ 空间,与六边形圆填充常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法,并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度,其中参数是最大与最小区间长度的比率。我们获得了 $\left(\frac{8\sqrt{3}}{\pi}\right)$-近似于 $\alpha$ 和 $\beta$ 在 poly$(\log(n), \epsilon^ {-1})$ 空间,与六边形圆填充常数密切相关。我们提供了在有界交集假设下估计任意长度区间的 $\alpha$ 的算法,并研究了估计 $\alpha$ 和 $\beta$ 的参数化空间复杂度,其中参数是最大与最小区间长度的比率。