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Approximating the Existential Theory of the Reals
arXiv - CS - Computer Science and Game Theory Pub Date : 2018-10-02 , DOI: arxiv-1810.01393 Argyrios Deligkas, John Fearnley, Themistoklis Melissourgos, and Paul G. Spirakis
arXiv - CS - Computer Science and Game Theory Pub Date : 2018-10-02 , DOI: arxiv-1810.01393 Argyrios Deligkas, John Fearnley, Themistoklis Melissourgos, and Paul G. Spirakis
The Existential Theory of the Reals (ETR) consists of existentially
quantified Boolean formulas over equalities and inequalities of polynomial
functions of variables in $\mathbb{R}$. In this paper we propose and study the
approximate existential theory of the reals ($\epsilon$-ETR), in which the
constraints only need to be satisfied approximately. We first show that when
the domain of the variables is $\mathbb{R}$ then $\epsilon$-ETR = ETR under
polynomial time reductions, and then study the constrained $\epsilon$-ETR
problem when the variables are constrained to lie in a given bounded convex
set. Our main theorem is a sampling theorem, similar to those that have been
proved for approximate equilibria in normal form games. It discretizes the
domain in a grid-like manner whose density depends on various properties of the
formula. A consequence of our theorem is that we obtain a quasi-polynomial time
approximation scheme (QPTAS) for a fragment of constrained $\epsilon$-ETR. We
use our theorem to create several new PTAS and QPTAS algorithms for problems
from a variety of fields.
中文翻译:
逼近实数的存在论
实数存在论 (ETR) 由 $\mathbb{R}$ 中变量多项式函数的等式和不等式的存在量化布尔公式组成。在本文中,我们提出并研究了实数的近似存在论($\epsilon$-ETR),其中约束只需要近似地满足。我们首先证明当变量的定义域为 $\mathbb{R}$ 时,$\epsilon$-ETR = ETR 在多项式时间约简下,然后研究当变量被约束为时的约束 $\epsilon$-ETR 问题位于给定的有界凸集。我们的主要定理是一个抽样定理,类似于在正规形式博弈中为近似均衡证明的那些定理。它以网格状方式离散域,其密度取决于公式的各种属性。我们的定理的一个结果是,我们为受约束的 $\epsilon$-ETR 的片段获得了一个准多项式时间近似方案 (QPTAS)。我们使用我们的定理为来自各个领域的问题创建了几个新的 PTAS 和 QPTAS 算法。
更新日期:2020-03-24
中文翻译:
逼近实数的存在论
实数存在论 (ETR) 由 $\mathbb{R}$ 中变量多项式函数的等式和不等式的存在量化布尔公式组成。在本文中,我们提出并研究了实数的近似存在论($\epsilon$-ETR),其中约束只需要近似地满足。我们首先证明当变量的定义域为 $\mathbb{R}$ 时,$\epsilon$-ETR = ETR 在多项式时间约简下,然后研究当变量被约束为时的约束 $\epsilon$-ETR 问题位于给定的有界凸集。我们的主要定理是一个抽样定理,类似于在正规形式博弈中为近似均衡证明的那些定理。它以网格状方式离散域,其密度取决于公式的各种属性。我们的定理的一个结果是,我们为受约束的 $\epsilon$-ETR 的片段获得了一个准多项式时间近似方案 (QPTAS)。我们使用我们的定理为来自各个领域的问题创建了几个新的 PTAS 和 QPTAS 算法。