We construct infinitely many incompressible Sobolev vector fields $u\in C_t{W}_x^{1,\tilde{p}}$ on the periodic domain ${\mathbb{T}}^d$ for which uniqueness of solutions to the transport equation fails in the class of densities $\rho \in C_t{L}_x^p$, provided $1/p+1/\tilde{p}>1+1/d$. The same result applies to the transport-diffusion equation, if, in addition, $p^{\prime }<d$.

中文翻译：

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具有全维集中输运方程的凸积分解

我们构造无限多个不可压缩的Sobolev向量场 $ü\in C_{Ť}{\mathrm{w\; ^}}_X^{\mathrm{1个}，\stackrel{〜}{p}}$ 在周期域上 ${\mathbb{Ť}}^d$ 输运方程的解的唯一性在密度类别中失败 $\rho \in C_{Ť}{\mathrm{大号}}_X^p$，提供 $\mathrm{1个}/p+\mathrm{1个}/\stackrel{〜}{p}>\mathrm{1个}+\mathrm{1个}/d$。此外，如果运输扩散方程式也适用相同的结果，$p^{\prime }<d$。