In this paper we provide an algorithm which given any $m$-edge $n$-vertex directed graph with integer capacities at most $U$ computes a maximum $s$-$t$ flow for any vertices $s$ and $t$ in $m^{4/3+o(1)}U^{1/3}$ time. This improves upon the previous best running times of $m^{11/8+o(1)}U^{1/4}$ (Liu Sidford 2019), $\tilde{O}(m \sqrt{n} \log U)$ (Lee Sidford 2014), and $O(mn)$ (Orlin 2013) when the graph is not too dense or has large capacities. To achieve the results this paper we build upon previous algorithmic approaches to maximum flow based on interior point methods (IPMs). In particular, we overcome a key bottleneck of previous advances in IPMs for maxflow (M\k{a}dry 2013, M\k{a}dry 2016, Liu Sidford 2019), which make progress by maximizing the energy of local $\ell_2$ norm minimizing electric flows. We generalize this approach and instead maximize the divergence of flows which minimize the Bregman divergence distance with respect to the weighted logarithmic barrier. This allows our algorithm to avoid dependencies on the $\ell_4$ norm that appear in other IPM frameworks (e.g. Cohen M\k{a}dry Sankowski Vladu 2017, Axiotis M\k{a}dry Vladu 2020). Further, we show that smoothed $\ell_2$-$\ell_p$ flows (Kyng, Peng, Sachdeva, Wang 2019), which we previously used to efficiently maximize energy (Liu Sidford 2019), can also be used to efficiently maximize divergence, thereby yielding our desired runtimes. We believe both this generalized view of energy maximization and generalized flow solvers we develop may be of further interest.

中文翻译：

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更快的发散最大化以获得更快的最大流量

在本文中，我们提供了一种算法，该算法给定任何 $m$-edge $n$-vertex 有向图，整数容量至多 $U$，计算任何顶点 $s$ 和 $t 的最大 $s$-$t$ 流$ 在 $m^{4/3+o(1)}U^{1/3}$ 时间。这改进了之前的最佳运行时间 $m^{11/8+o(1)}U^{1/4}$ (Liu Sidford 2019), $\tilde{O}(m \sqrt{n} \ log U)$ (Lee Sidford 2014) 和 $O(mn)$ (Orlin 2013) 当图不太密集或容量很大时。为了实现本文的结果，我们建立在先前基于内点法 (IPM) 的最大流量算法方法的基础上。特别是，我们克服了先前在 maxflow 的 IPM 进展中的一个关键瓶颈（M\k{a}dry 2013，M\k{a}dry 2016，Liu Sidford 2019），通过最大化局部 $\ ell_2$ 规范最小化电流。我们概括了这种方法，而是最大化流的散度，从而最小化相对于加权对数障碍的 Bregman 散度距离。这允许我们的算法避免对出现在其他 IPM 框架中的 $\ell_4$ 范数的依赖（例如 Cohen M\k{a}dry Sankowski Vladu 2017，Axiotis M\k{a}dry Vladu 2020）。此外，我们展示了平滑的 $\ell_2$-$\ell_p$ 流（Kyng、Peng、Sachdeva、Wang 2019），我们之前用它来有效地最大化能量（Liu Sidford 2019），也可以用来有效地最大化发散，从而产生我们想要的运行时间。我们相信我们开发的这种能量最大化的广义观点和广义流动求解器可能会引起进一步的兴趣。Axiotis M\k{a}dry Vladu 2020)。此外，我们展示了平滑的 $\ell_2$-$\ell_p$ 流（Kyng、Peng、Sachdeva、Wang 2019），我们之前用它来有效地最大化能量（Liu Sidford 2019），也可以用来有效地最大化发散，从而产生我们想要的运行时间。我们相信我们开发的这种能量最大化的广义观点和广义流动求解器可能会引起进一步的兴趣。Axiotis M\k{a}dry Vladu 2020)。此外，我们展示了平滑的 $\ell_2$-$\ell_p$ 流（Kyng、Peng、Sachdeva、Wang 2019），我们之前用它来有效地最大化能量（Liu Sidford 2019），也可以用来有效地最大化发散，从而产生我们想要的运行时间。我们相信我们开发的这种能量最大化的广义观点和广义流动求解器可能会引起进一步的兴趣。