We provide a comprehensive study of a natural geometric optimization problem motivated by questions in the context of satellite communication and astrophysics. In the problem Minimum Scan Cover with Angular Costs (MSC), we are given a graph $G$ that is embedded in Euclidean space. The edges of $G$ need to be scanned, i.e., probed from both of their vertices. In order to scan their edge, two vertices need to face each other; changing the heading of a vertex takes some time proportional to the corresponding turn angle. Our goal is to minimize the time until all scans are completed, i.e., to compute a schedule of minimum makespan. We show that MSC is closely related to both graph coloring and the minimum (directed and undirected) cut cover problem; in particular, we show that the minimum scan time for instances in 1D and 2D lies in $\Theta(\log \chi (G))$, while for 3D the minimum scan time is not upper bounded by $\chi (G)$. We use this relationship to prove that the existence of a constant-factor approximation implies $P=NP$, even for one-dimensional instances. In 2D, we show that it is NP-hard to approximate a minimum scan cover within less than a factor of $\frac{3}{2}$, even for bipartite graphs; conversely, we present a $\frac{9}{2}$-approximation algorithm for this scenario. Generally, we give an $O(c)$-approximation for $k$-colored graphs with $k\leq \chi(G)^c$. For general metric cost functions, we provide approximation algorithms whose performance guarantee depend on the arboricity of the graph.

中文翻译：

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具有角度转换成本的最小扫描覆盖

我们全面研究了由卫星通信和天体物理学背景下的问题引发的自然几何优化问题。在具有角成本的最小扫描覆盖 (MSC) 问题中，我们给出了一个嵌入欧几里得空间的图 $G$。需要扫描$G$ 的边，即从它们的两个顶点进行探测。为了扫描它们的边缘，两个顶点需要面对面；改变顶点的航向需要一些时间，与相应的转角成正比。我们的目标是最小化所有扫描完成之前的时间，即计算最小完工时间的计划。我们表明 MSC 与图着色和最小（有向和无向）割覆盖问题密切相关；特别是，我们表明，1D 和 2D 实例的最小扫描时间位于 $\Theta(\log \chi (G))$，而对于 3D，最小扫描时间不受 $\chi (G)$ 的上限。我们使用这种关系来证明常数因子近似的存在意味着 $P=NP$，即使对于一维实例也是如此。在 2D 中，我们表明即使对于二部图，在小于 $\frac{3}{2}$ 的因子内近似最小扫描覆盖是 NP 难的；相反，我们针对这种情况提出了 $\frac{9}{2}$-approximation 算法。通常，我们使用 $k\leq \chi(G)^c$ 给出 $k$-彩色图的 $O(c)$-近似值。对于一般度量成本函数，我们提供了近似算法，其性能保证取决于图的树形性。我们使用这种关系来证明常数因子近似的存在意味着 $P=NP$，即使对于一维实例也是如此。在 2D 中，我们表明即使对于二部图，在小于 $\frac{3}{2}$ 的因子内近似最小扫描覆盖是 NP 难的；相反，我们针对这种情况提出了 $\frac{9}{2}$-approximation 算法。通常，我们对 $k\leq \chi(G)^c$ 的 $k$-彩色图给出 $O(c)$-近似值。对于一般度量成本函数，我们提供了近似算法，其性能保证取决于图的树形性。我们使用这种关系来证明常数因子近似的存在意味着 $P=NP$，即使对于一维实例也是如此。在 2D 中，我们表明即使对于二部图，在小于 $\frac{3}{2}$ 的因子内近似最小扫描覆盖是 NP 难的；相反，我们针对这种情况提出了 $\frac{9}{2}$-approximation 算法。通常，我们使用 $k\leq \chi(G)^c$ 给出 $k$-彩色图的 $O(c)$-近似值。对于一般度量成本函数，我们提供了近似算法，其性能保证取决于图的树形性。我们针对这种情况提出了 $\frac{9}{2}$-approximation 算法。通常，我们使用 $k\leq \chi(G)^c$ 给出 $k$-彩色图的 $O(c)$-近似值。对于一般度量成本函数，我们提供了近似算法，其性能保证取决于图的树形性。我们针对这种情况提出了 $\frac{9}{2}$-approximation 算法。通常，我们使用 $k\leq \chi(G)^c$ 给出 $k$-彩色图的 $O(c)$-近似值。对于一般度量成本函数，我们提供了近似算法，其性能保证取决于图的树形性。