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Efficient Homology‐Preserving Simplification of High‐Dimensional Simplicial Shapes
Computer Graphics Forum ( IF 2.7 ) Pub Date : 2019-08-05 , DOI: 10.1111/cgf.13764 Riccardo Fellegara 1 , Federico Iuricich 2 , Leila De Floriani 1 , Ulderico Fugacci 3
Computer Graphics Forum ( IF 2.7 ) Pub Date : 2019-08-05 , DOI: 10.1111/cgf.13764 Riccardo Fellegara 1 , Federico Iuricich 2 , Leila De Floriani 1 , Ulderico Fugacci 3
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Simplicial complexes are widely used to discretize shapes. In low dimensions, a 3D shape is represented by discretizing its boundary surface, encoded as a triangle mesh, or by discretizing the enclosed volume, encoded as a tetrahedral mesh. High‐dimensional simplicial complexes have recently found their application in topological data analysis. Topological data analysis aims at studying a point cloud P, possibly embedded in a high‐dimensional metric space, by investigating the topological characteristics of the simplicial complexes built on P. Analysing such complexes is not feasible due to their size and dimensions. To this aim, the idea of simplifying a complex while preserving its topological features has been proposed in the literature. Here, we consider the problem of efficiently simplifying simplicial complexes in arbitrary dimensions. We provide a new definition for the edge contraction operator, based on a top‐based data structure, with the objective of preserving structural aspects of a simplicial shape (i.e., its homology), and a new algorithm for verifying the link condition on a top‐based representation. We implement the simplification algorithm obtained by coupling the new edge contraction and the link condition on a specific top‐based data structure, that we use to demonstrate the scalability of our approach.
中文翻译：
高维单纯形的高效同源性简化
单纯复形被广泛用于离散化形状。在低维中，3D 形状通过将其边界表面离散化（编码为三角形网格）或通过将封闭体积离散化（编码为四面体网格）来表示。高维单纯复形最近在拓扑数据分析中得到了应用。拓扑数据分析旨在通过研究建立在 P 上的单纯复形的拓扑特征来研究可能嵌入高维度量空间的点云 P。由于它们的大小和维度，分析这些复形是不可行的。为此，文献中提出了在保留其拓扑特征的同时简化复合体的想法。在这里，我们考虑有效地简化任意维度的单纯复形的问题。我们基于基于顶部的数据结构为边缘收缩算子提供了一个新定义，目的是保留简单形状的结构方面（即其同源性），以及一种用于验证顶部链接条件的新算法-基于表示。我们实现了通过在特定的基于顶部的数据结构上耦合新边收缩和链接条件而获得的简化算法，我们用它来证明我们方法的可扩展性。
更新日期：2019-08-05
中文翻译：
高维单纯形的高效同源性简化
单纯复形被广泛用于离散化形状。在低维中，3D 形状通过将其边界表面离散化（编码为三角形网格）或通过将封闭体积离散化（编码为四面体网格）来表示。高维单纯复形最近在拓扑数据分析中得到了应用。拓扑数据分析旨在通过研究建立在 P 上的单纯复形的拓扑特征来研究可能嵌入高维度量空间的点云 P。由于它们的大小和维度，分析这些复形是不可行的。为此，文献中提出了在保留其拓扑特征的同时简化复合体的想法。在这里，我们考虑有效地简化任意维度的单纯复形的问题。我们基于基于顶部的数据结构为边缘收缩算子提供了一个新定义，目的是保留简单形状的结构方面（即其同源性），以及一种用于验证顶部链接条件的新算法-基于表示。我们实现了通过在特定的基于顶部的数据结构上耦合新边收缩和链接条件而获得的简化算法，我们用它来证明我们方法的可扩展性。
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