This paper is devoted to the mathematical and numerical analysis of a model describing the interfacial flow-transport interaction in a porous-fluidic domain. The medium consists of a highly permeable material, where the flow of an incompressible viscous fluid is governed by Brinkman equations (written in terms of vorticity, velocity and pressure), and a porous medium where Darcy’s law describes fluid motion using filtration velocity and pressure. Gravity and the local fluctuations of a scalar field (representing for instance, the solids volume fraction or the concentration of a contaminant) are the main drivers of the fluid patterns on the whole domain, and the Brinkman-Darcy equations are coupled to a nonlinear transport equation accounting for mass balance of the scalar concentration. We introduce a mixed-primal variational formulation of the problem and establish existence and uniqueness of solution using fixed-point arguments and small-data assumptions. A family of Galerkin discretizations that produce divergence-free discrete velocities is also presented and analysed using similar tools to those employed in the continuous problem. Convergence of the resulting mixed-primal finite element method is proven, and some numerical examples confirming the theoretical error bounds and illustrating the performance of the proposed discrete scheme are reported.

中文翻译：

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Brinkman-Darcy流与非线性传输耦合的混合原始有限元方法

本文致力于数学模型和数值分析模型的描述，该模型描述了多孔流体域中的界面流-运相互作用。介质由高渗透性材料（其中不可压缩的粘性流体的流动由Brinkman方程（用涡度，速度和压力表示））控制，以及多孔介质（其中达西定律使用过滤速度和压力描述流体运动）组成。标量场的重力和局部波动（例如，表示固体的体积分数或污染物的浓度）是整个区域内流体模式的主要驱动力，并且Brinkman-Darcy方程与非线性传输耦合等式说明了标量浓度的质量平衡。我们介绍了问题的混合原始变分形式，并使用定点参数和小数据假设建立了解决方案的存在性和唯一性。还提出了一系列Galerkin离散技术，它们产生了无散度的离散速度，并使用了与连续问题中所使用的工具相似的工具进行了分析。证明了所得混合原始有限元方法的收敛性，并报道了一些数值例子，这些例子证实了理论误差范围并说明了所提出离散方案的性能。还提出了一系列Galerkin离散技术，它们产生了无散度的离散速度，并使用了与连续问题中所使用的工具相似的工具进行了分析。证明了所得混合原始有限元方法的收敛性，并报道了一些数值例子，这些例子证实了理论误差范围并说明了所提出离散方案的性能。还提出了一系列Galerkin离散技术，它们产生了无散度的离散速度，并使用了与连续问题中所使用的工具相似的工具进行了分析。证明了所得混合原始有限元方法的收敛性，并报道了一些数值例子，这些例子证实了理论误差范围并说明了所提出离散方案的性能。