For any odd prime $p$ , and a divisor $\ell $ of $p$ , we consider $I_\ell $ to be the set of all divisors of $p-1$ , which are less than or equal to $\ell $ . In this letter, we construct quantum codes from cyclic codes over $\mathbb F_{p}$ and $\mathbb F_{p} S_\ell $ , where $S_\ell =\prod _{i\in I_\ell }R_{i}$ , for $R_{i}=\frac {\mathbb F_{p}[u]}{\langle u^{i+1}-u\rangle }$ . For that, first we construct linear codes and a Gray map over $R_\ell $ . Using this construction, we study cyclic codes over $R_\ell $ , and then extend that over $\mathbb F_{p} S_\ell $ . We also give a Gray map over $\mathbb F_{p} S_\ell $ . Then, using necessary and sufficient condition of dual containing property for cyclic codes, we construct quantum MDS codes. It is observed that the quantum codes constructed are new in the literature.

中文翻译：

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来自乘积环上的循环码的新非二进制量子码

对于任意奇素数 $p$ ，和一个除数 $\ell $ 的 $p$ ， 我们认为 $I_\ell $ 是所有约数的集合 $p-1$ ，小于或等于 $\ell $ . 在这封信中，我们从循环码构造量子码 $\mathbb F_{p}$ 和 $\mathbb F_{p} S_\ell $ ， 在哪里 $S_\ell =\prod _{i\in I_\ell }R_{i}$ ， 为了 $R_{i}=\frac {\mathbb F_{p}[u]}{\langle u^{i+1}-u\rangle }$ . 为此，首先我们构建线性代码和灰度图 $R_\ell $ . 使用这种结构，我们研究循环码 $R_\ell $ ，然后将其扩展到 $\mathbb F_{p} S_\ell $ . 我们还给出了一张灰色地图 $\mathbb F_{p} S_\ell $ . 然后，利用循环码对偶性的充要条件，构造了量子MDS码。据观察，构建的量子代码在文献中是新的。