If $$E \subset \mathbb {R}^2$$ E ⊂ R 2 is a compact set of Hausdorff dimension greater than 5 / 4, we prove that there is a point $$x \in E$$ x ∈ E so that the set of distances $$\{ |x-y| \}_{y \in E}$$ { | x - y | } y ∈ E has positive Lebesgue measure.

中文翻译：

---

论 Falconer 在飞机上的距离集问题

如果 $$E \subset \mathbb {R}^2$$ E ⊂ R 2 是 Hausdorff 维数大于 5 / 4 的紧集，我们证明存在点 $$x \in E$$ x ∈ E使得距离集合 $$\{ |xy| \}_{y \in E}$$ { | x - y | } y ∈ E 有正 Lebesgue 测度。