Abstract

We study the mass distribution of Laplacian eigenfunctions at Planck scale for the standard flat torus $\mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$. By averaging over the ball centre, we use Bourgain’s de-randomization to compare the mass distribution of toral eigenfunctions to the mass distribution of random waves in growing balls around the origin. We then classify all possible limiting distributions and their variances. Moreover, we show that, even in the ‘generic’ case, the mass might not equidistribute at Planck scale. Finally, we give necessary and sufficient conditions so that the mass of ‘generic’ eigenfunctions equidistributes at Planck scale in almost all balls.

中文翻译：

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通过Bourgain的去随机化实现对环本征函数的质量分布

摘要

我们针对标准扁平环$ \ mathbb {T} ^ 2 = \ mathbb {R} ^ 2 / \ mathbb {Z} ^ 2 $的普朗克尺度研究Laplacian特征函数的质量分布。通过对球中心进行平均，我们使用布尔加因（Bourgain）的去随机化方法将圆本征函数的质量分布与围绕原点的生长球中随机波的质量分布进行比较。然后，我们对所有可能的极限分布及其方差进行分类。而且，我们证明，即使在“一般”情况下，质量也可能不会按普朗克规模平均分配。最后，我们给出必要和充分的条件，以使“通用”本征函数的质量在几乎所有的球中以普朗克尺度相等地分布。