Sarnak's golden mean conjecture states that $(m+1)d_\varphi(m)\le1+\frac{2}{\sqrt{5}}$ for all integers $m\ge1$, where $\varphi$ is the golden mean and $d_\theta$ is the discrepancy function for $m+1$ multiples of $\theta$ modulo 1. In this paper, we characterize the set $\mathcal{S}$ of values $\theta$ that share this property, as well as the set $\mathcal{T}$ of those with the property for some lower bound $m\ge M$. Remarkably, $\mathcal{S}\text{ mod }1$ has only 16 elements, whereas $\mathcal{T}$ is the set of $GL_2(\mathbb{Z})$-transformations of $\varphi$.

中文翻译：

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U(1) 的最优拓扑生成器

Sarnak 的黄金平均猜想指出，对于所有整数 $m\ge1$，$(m+1)d_\varphi(m)\le1+\frac{2}{\sqrt{5}}$，其中 $\varphi$ 是黄金均值和 $d_\theta$ 是 $\theta$ 模 1 的 $m+1$ 倍数的差异函数。在本文中，我们描述了共享此值的 $\mathcal{S}$ 集合属性，以及具有某些下界 $m\ge M$ 属性的集合 $\mathcal{T}$。值得注意的是，$\mathcal{S}\text{ mod }1$ 只有 16 个元素，而 $\mathcal{T}$ 是 $\varphi$ 的 $GL_2(\mathbb{Z})$ 变换的集合。