Consider a sum $S_n=v_i\varepsilon_1+\cdots+v_n\varepsilon_{n}$, where $(v_i)^{n}_{i=1}$ are non-zero vectors in $\mathbb{R}^{d}$ and $(\varepsilon_i)^{n}_{i=1}$ are independent Rademacher random variables (i.e., $~{\mathbb{P}(\varepsilon_{i}=\pm 1)=1/2}$). The classical Littlewood-Offord problem asks for the best possible upper bound for $~{\sup_{x}\mathbb{P}(S_n = x)}$. In this paper we consider a non-uniform version of this problem. Namely, we obtain the optimal bound for $\mathbb{P}(S_n = x)$ in terms of the length of the vector $x\in \mathbb{R}^d$.

中文翻译：

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非均匀 Littlewood-Offord 不等式

考虑和 $S_n=v_i\varepsilon_1+\cdots+v_n\varepsilon_{n}$，其中 $(v_i)^{n}_{i=1}$ 是 $\mathbb{R}^{ 中的非零向量d}$ 和 $(\varepsilon_i)^{n}_{i=1}$ 是独立的 Rademacher 随机变量（即 $~{\mathbb{P}(\varepsilon_{i}=\pm 1)=1/ 2}$)。经典的 Littlewood-Offord 问题要求 $~{\sup_{x}\mathbb{P}(S_n = x)}$ 的最佳可能上限。在本文中，我们考虑这个问题的非统一版本。即，我们根据向量 $x\in \mathbb{R}^d$ 的长度获得了 $\mathbb{P}(S_n = x)$ 的最佳边界。