An important objective of research in counting complexity is to understand which counting problems are approximable. In this quest, the complexity class TotP, a hard subclass of #P, is of key importance, as it contains self-reducible counting problems with easy decision version, thus eligible to be approximable. Indeed, most problems known so far to admit an fpras fall into this class. An open question raised recently by the community of descriptive complexity is to find a logical characterization of TotP and of robust subclasses of TotP. In this work we define two subclasses of TotP, in terms of descriptive complexity, both of which are robust in the sense that they have natural complete problems, which are defined in terms of satisfiability of Boolean formulae. We then explore the relationship between the class of approximable counting problems and TotP. We prove that TotP $\nsubseteq$ FPRAS if and only if NP $\neq$ RP and FPRAS $\nsubseteq$ TotP unless RP = P. To this end we introduce two ancillary classes that can both be seen as counting versions of RP. We further show that FPRAS lies between one of these classes and a counting version of BPP. Finally, we provide a complete picture of inclusions among all the classes defined or discussed in this paper with respect to different conjectures about the NP vs. RP vs. P questions.

中文翻译：

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#P 以下硬计数类的特征和近似性

计数复杂性研究的一个重要目标是了解哪些计数问题是可近似的。在这个任务中，复杂性类 TotP 是#P 的一个硬子类，它非常重要，因为它包含具有简单决策版本的自简化计数问题，因此有资格近似。事实上，迄今为止已知的大多数承认 fpra 的问题都属于这一类。描述复杂性社区最近提出的一个悬而未决的问题是找到 TotP 和 TotP 的稳健子类的逻辑特征。在这项工作中，我们根据描述复杂性定义了 TotP 的两个子类，这两个子类都具有鲁棒性，因为它们具有自然的完全问题，这些问题是根据布尔公式的可满足性定义的。然后我们探索近似计数问题类与 TotP 之间的关系。我们证明 TotP $\nsubseteq$ FPRAS 当且仅当 NP $\neq$ RP 和 FPRAS $\nsubseteq$ TotP 除非 RP = P。为此我们引入两个辅助类，它们都可以看作是 RP 的计数版本。我们进一步表明 FPRAS 位于这些类别之一和 BPP 的计数版本之间。最后，我们提供了本文中定义或讨论的所有类中包含的完整图片，涉及关于 NP 与 RP 与 P 问题的不同猜想。我们进一步表明 FPRAS 位于这些类别之一和 BPP 的计数版本之间。最后，我们提供了本文中定义或讨论的所有类中包含的完整图片，涉及关于 NP 与 RP 与 P 问题的不同猜想。我们进一步表明 FPRAS 位于这些类别之一和 BPP 的计数版本之间。最后，我们提供了本文中定义或讨论的所有类中包含的完整图片，涉及关于 NP 与 RP 与 P 问题的不同猜想。