Abstract Denote by λ K v the complete graph of order v with multiplicity λ . Let λ K v − λ K w − λ K u be the graph obtained from λ K v by the removal of the edges of two vertex disjoint complete multi-subgraphs with multiplicity λ of orders w and u , respectively. When λ is odd, it is shown that there exists a triangle decomposition of λ K v − λ K w − λ K u if and only if v ≥ w + u + max { u , w } , λ v 2 − u 2 − w 2 ≡ 0 ( mod 3 ) and λ ( v − w ) ≡ λ ( v − u ) ≡ λ ( v − 1 ) ≡ 0 ( mod 2 ) . When λ is even, it is shown that for large enough v , the elementary necessary conditions for the existence of a triangle decomposition of λ K v − λ K w − λ K u are also sufficient.

中文翻译：

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λKv−λKw−λKu 的三角分解

Abstract 用λ K v 表示具有多重性λ 的v 阶完整图。令 λ K v − λ K w − λ K u 是从 λ K v 通过去除两个顶点不相交的完全多子图的边而获得的图，这些子图的重数分别为 w 和 u 。当 λ 为奇数时，表明存在 λ K v − λ K w − λ K u 的三角形分解当且仅当 v ≥ w + u + max { u , w } , λ v 2 − u 2 − w 2 ≡ 0 ( mod 3 ) 和 λ ( v − w ) ≡ λ ( v − u ) ≡ λ ( v − 1 ) ≡ 0 ( mod 2 ) 。当 λ 为偶数时，表明对于足够大的 v，λ K v − λ K w − λ K u 的三角形分解存在的基本必要条件也是充分的。