We refine the derivation of the Boltzmann equation by considering that the molecules passing through the interfaces of a volume element of physical space and velocity space exhibit different velocity distribution functions and number densities. The resulting equation has a time parameter close to the relaxation time and degenerates into the conventional Boltzmann equation when this parameter takes a value of zero. By considering the macroscopic averaging of mass, momentum, and energy, the corresponding continuity, momentum, and energy equations are obtained. Compared with the extended Navier–Stokes equations, the momentum and energy equations contain additional terms to represent the external forces.We refine the derivation of the Boltzmann equation by considering that the molecules passing through the interfaces of a volume element of physical space and velocity space exhibit different velocity distribution functions and number densities. The resulting equation has a time parameter close to the relaxation time and degenerates into the conventional Boltzmann equation when this parameter takes a value of zero. By considering the macroscopic averaging of mass, momentum, and energy, the corresponding continuity, momentum, and energy equations are obtained. Compared with the extended Navier–Stokes equations, the momentum and energy equations contain additional terms to represent the external forces.

中文翻译：

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修正的 Boltzmann 方程和扩展的 Navier-Stokes 方程

我们通过考虑通过物理空间和速度空间的体积元界面的分子表现出不同的速度分布函数和数密度来改进玻尔兹曼方程的推导。得到的方程有一个接近弛豫时间的时间参数，当这个参数取零值时，它退化为传统的玻尔兹曼方程。通过考虑质量、动量和能量的宏观平均，得到相应的连续性、动量和能量方程。与扩展的 Navier-Stokes 方程相比，动量和能量方程包含附加项来表示外力。我们通过考虑通过物理空间和速度空间的体积元界面的分子表现出不同的速度分布函数和数密度来改进玻尔兹曼方程的推导。得到的方程有一个接近弛豫时间的时间参数，当这个参数取零值时，它退化为传统的玻尔兹曼方程。通过考虑质量、动量和能量的宏观平均，得到相应的连续性、动量和能量方程。与扩展的 Navier-Stokes 方程相比，动量和能量方程包含附加项来表示外力。得到的方程有一个接近弛豫时间的时间参数，当这个参数取零值时，它退化为传统的玻尔兹曼方程。通过考虑质量、动量和能量的宏观平均，得到相应的连续性、动量和能量方程。与扩展的 Navier-Stokes 方程相比，动量和能量方程包含附加项来表示外力。得到的方程有一个接近弛豫时间的时间参数，当这个参数取零值时，它退化为传统的玻尔兹曼方程。通过考虑质量、动量和能量的宏观平均，得到相应的连续性、动量和能量方程。与扩展的 Navier-Stokes 方程相比，动量和能量方程包含附加项来表示外力。