In this paper, we build up an output feedback law to stabilize a sampled-data controlled heat equation (with a potential) in a bounded domain $\Omega$. The feedback law abides the following rules: First, we divide equally the time interval $[0,+\infty)$ into infinitely many disjoint time periods, and divide each time period into three disjoint subintervals. Second, for each time period, we observe a solution over an open subset of $\Omega$ in the first subinterval, take sample from outputs at one time point of the first subinterval, add a time-invariant output feedback control over another open subset of $\Omega$ in the second subinterval; let the equation evolve free in the last subinterval. Thus, the corresponding feedback control is of sampled-data. Our feedback law has the following advantages: the sampling period (which is the length of the above time period) can be arbitrarily taken; the feedback law has an explicit expression in terms of the sampling period; the behaviors of the norm of the feedback law, when the sampling period goes to zero or infinity, are clear. The construction of the feedback law is based on two kinds of approximate null-controllability for heat equations. One has time-invariant controls, while another has impulse controls. The studies of the aforementioned controllability with time-invariant controls need a new observability inequality for heat equations built up in the current work.

中文翻译：

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具有采样数据控制的热方程的输出反馈稳定

在本文中，我们建立了一个输出反馈定律来稳定一个有界域 $\Omega$ 中的采样数据受控热方程（具有电位）。反馈定律遵循以下规则：首先，我们将时间区间 $[0,+\infty)$ 平均划分为无限多个不相交的时间段，并将每个时间段划分为三个不相交的子时间段。其次，对于每个时间段，我们在第一个子区间观察 $\Omega$ 的一个开子集的解，从第一个子区间的一个时间点的输出中取样，在另一个开子集上添加一个时不变的输出反馈控制$\Omega$ 在第二个子区间；让方程在最后一个子区间自由演化。因此，相应的反馈控制是采样数据。我们的反馈法具有以下优点：采样周期（即上述时间段的长度）可以任意取；反馈规律在采样周期方面有明确的表达；当采样周期变为零或无穷大时，反馈定律的范数的行为是明确的。反馈定律的构建基于热方程的两种近似零可控性。一种具有时不变控制，而另一种具有脉冲控制。对上述具有时不变控制的可控性的研究需要在当前工作中建立的热方程的新的可观测性不等式。反馈定律的构建基于热方程的两种近似零可控性。一种具有时不变控制，而另一种具有脉冲控制。对上述具有时不变控制的可控性的研究需要在当前工作中建立的热方程的新的可观测性不等式。反馈定律的构建基于热方程的两种近似零可控性。一种具有时不变控制，而另一种具有脉冲控制。对上述具有时不变控制的可控性的研究需要在当前工作中建立的热方程的新的可观测性不等式。