We study the (periodic) autocorrelation coefficients of the Rudin–Shapiro polynomials and prove that

Theorem. If $P_n$ and $Q_n$ are the nth Rudin–Shapiro polynomials and ${\left|P_n\left(z\right)\right|}^2=\sum _{k=-L_n+1}^{L_n-1}{a}_k{z}^k,\left|z\right|=1$ ($a_0=L_n$, $a_k=a_{-k}$, $k\ge 1$), then $0.27771487\cdots (1+o\left(1\right)){\left|\lambda \right|}^n\le \underset{1\le k\le L_n-1}{max}\left|a_k\right|\le (3.78207844\cdots ){\left|\lambda \right|}^n$where $\lambda$ is the real root of $x^3-x^2-2x+4=0$.

Also, if we let $\left(\overline{P_n}{Q}_n\right)\left(z\right)=\left(P_n\overline{Q_n}\right)(1∕z)=\sum _{k=-L_n+1}^{L_n-1}{b}_k{z}^k,\left|z\right|=1$ ($b_0=2-L_n$, $b_k=\overline{b_{-k}}$, $k\ge 1$), then $0.46071984\cdots (1+o\left(1\right)){\left|\lambda \right|}^n\le \underset{1\le k\le L_n-1}{max}\left|b_k\right|\le (3.78207844\cdots ){\left|\lambda \right|}^n,$ which was conjectured by Saffari (0000) [7] 40 years ago. This improves previous results in Allouche et al. (2019) and makes the upper bound of the correct order of infinity.

我们研究了Rudin–Shapiro多项式的（周期）自相关系数，并证明了

定理。 如果 $P_{ñ}$ 和 ${问}_{ñ}$ 是第n个Rudin–Shapiro多项式， ${\left|P_{ñ}（ž）\right|}^2=\sum _{ķ=-{\mathrm{大号}}_{ñ}+\mathrm{1个}}^{{\mathrm{大号}}_{ñ}-\mathrm{1个}}{\mathrm{一种}}_{ķ}{ž}^{ķ}，\left|ž\right|=\mathrm{1个}$ （${\mathrm{一种}}_0={\mathrm{大号}}_{ñ}$， ${\mathrm{一种}}_{ķ}={\mathrm{一种}}_{-ķ}$， $ķ\ge \mathrm{1个}$），然后 $0。27771487\cdots （\mathrm{1个}+Ø（\mathrm{1个}））{\left|\lambda \right|}^{ñ}\le \underset{\mathrm{1个}\le ķ\le {\mathrm{大号}}_{ñ}-\mathrm{1个}}{最高}\left|{\mathrm{一种}}_{ķ}\right|\le （3。78207844\cdots ）{\left|\lambda \right|}^{ñ}$哪里 $\lambda$ 是...的真正根源 $X^3-X^2-2X+4=0$。

另外，如果我们让 $\left(\overline{P_{ñ}}{问}_{ñ}\right)（ž）=\left(P_{ñ}\overline{{问}_{ñ}}\right)（\mathrm{1个}∕ž）=\sum _{ķ=-{\mathrm{大号}}_{ñ}+\mathrm{1个}}^{{\mathrm{大号}}_{ñ}-\mathrm{1个}}{b}_{ķ}{ž}^{ķ}，\left|ž\right|=\mathrm{1个}$ （$b_0=2-{\mathrm{大号}}_{ñ}$， $b_{ķ}=\overline{b_{-ķ}}$， $ķ\ge \mathrm{1个}$），然后 $0。46071984\cdots （\mathrm{1个}+Ø（\mathrm{1个}））{\left|\lambda \right|}^{ñ}\le \underset{\mathrm{1个}\le ķ\le {\mathrm{大号}}_{ñ}-\mathrm{1个}}{最高}\left|b_{ķ}\right|\le （3。78207844\cdots ）{\left|\lambda \right|}^{ñ}，$ 这是40年前Saffari（0000）[7]的推测。这改善了Allouche等人的先前结果。（2019），并设定无穷大的正确阶数的上限。