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Automaticity and invariant measures of linear cellular automata
arXiv - CS - Discrete Mathematics Pub Date : 2018-11-03 , DOI: arxiv-1811.01256 Eric Rowland, Reem Yassawi
arXiv - CS - Discrete Mathematics Pub Date : 2018-11-03 , DOI: arxiv-1811.01256 Eric Rowland, Reem Yassawi
We show that spacetime diagrams of linear cellular automata $\Phi : {\mathbb
F}_p^{\mathbb Z} \to {\mathbb F}_p^{\mathbb Z}$ with $(-p)$-automatic initial
conditions are automatic. This extends existing results on initial conditions
which are eventually constant. Each automatic spacetime diagram defines a
$(\sigma, \Phi)$-invariant subset of ${\mathbb F}_p^{\mathbb Z}$, where
$\sigma$ is the left shift map, and if the initial condition is not eventually
periodic then this invariant set is nontrivial. For the Ledrappier cellular
automaton we construct a family of nontrivial $(\sigma, \Phi)$-invariant
measures on ${\mathbb F}_3^{\mathbb Z}$. Finally, given a linear cellular
automaton $\Phi$, we construct a nontrivial $(\sigma, \Phi)$-invariant measure
on ${\mathbb F}_p^{\mathbb Z}$ for all but finitely many $p$.
中文翻译:
线性元胞自动机的自动性和不变性测度
我们展示了线性元胞自动机 $\Phi 的时空图: {\mathbb F}_p^{\mathbb Z} \to {\mathbb F}_p^{\mathbb Z}$ 与 $(-p)$-自动初始条件是自动的。这扩展了最终恒定的初始条件下的现有结果。每个自动时空图都定义了 ${\mathbb F}_p^{\mathbb Z}$ 的 $(\sigma, \Phi)$-不变子集,其中 $\sigma$ 是左移映射,如果初始条件最终不是周期性的,那么这个不变集是非平凡的。对于 Ledrappier 元胞自动机,我们在 ${\mathbb F}_3^{\mathbb Z}$ 上构建了一系列非平凡的 $(\sigma, \Phi)$-不变测度。最后,给定一个线性元胞自动机 $\Phi$,我们在 ${\mathbb F}_p^{\mathbb Z}$ 上构造一个非平凡的 $(\sigma, \Phi)$-不变测度,除了有限多个 $p $.
更新日期:2020-11-18
中文翻译:
线性元胞自动机的自动性和不变性测度
我们展示了线性元胞自动机 $\Phi 的时空图: {\mathbb F}_p^{\mathbb Z} \to {\mathbb F}_p^{\mathbb Z}$ 与 $(-p)$-自动初始条件是自动的。这扩展了最终恒定的初始条件下的现有结果。每个自动时空图都定义了 ${\mathbb F}_p^{\mathbb Z}$ 的 $(\sigma, \Phi)$-不变子集,其中 $\sigma$ 是左移映射,如果初始条件最终不是周期性的,那么这个不变集是非平凡的。对于 Ledrappier 元胞自动机,我们在 ${\mathbb F}_3^{\mathbb Z}$ 上构建了一系列非平凡的 $(\sigma, \Phi)$-不变测度。最后,给定一个线性元胞自动机 $\Phi$,我们在 ${\mathbb F}_p^{\mathbb Z}$ 上构造一个非平凡的 $(\sigma, \Phi)$-不变测度,除了有限多个 $p $.