For fixed integers $r>k\ge 2,e\ge 3$, let $f_r(n,er-(e-1)k,e)$ be the maximum number of edges in an r-uniform hypergraph in which the union of any e distinct edges contains at least $er-(e-1)k+1$ vertices. A classical result of Brown, Erdős and Sós in 1973 showed that $f_r(n,er-(e-1)k,e)=\mathrm{\Theta }(n^k)$. The degenerate Turán density is defined to be the limit (if it exists)$\pi (r,k,e):=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f_r(n,er-(e-1)k,e)}{n^k}.$ Extending a recent result of Glock for the special case of $r=3,k=2,e=3$, we show that$\pi (r,2,3):=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f_r(n,3r-4,3)}{n^2}=\frac{1}{r^2-r-1}$ for arbitrary fixed $r\ge 4$. For the more general cases $r>k\ge 3$, we manage to show$\frac{1}{r^k-r}\le \underset{n\to \infty }{\lim \inf }\frac{f_r(n,3r-2k,3)}{n^k}\le \underset{n\to \infty }{\lim \sup }\frac{f_r(n,3r-2k,3)}{n^k}\le \frac{1}{k!\left(\begin{array}{c}r\\ k\end{array}\right)-\frac{k!}{2}},$ where the gap between the upper and lower bounds are small for $r\gg k$.

The main difficulties in proving these results are the constructions establishing the lower bounds. The first construction is recursive and purely combinatorial, and is based on a (carefully designed) approximate induced decomposition of the complete graph, whereas the second construction is algebraic, and is proved by a newly defined matrix property which we call strongly 3-perfect hashing.

对于固定整数 $\mathrm{[R}>ķ\ge 2，Ë\ge 3$，让 $F_{\mathrm{[R}}（ñ，Ë\mathrm{[R}-（Ë-\mathrm{1个}）ķ，Ë）$是r均匀超图中的最大边数，其中任何e个不同边的并集至少包含$Ë\mathrm{[R}-（Ë-\mathrm{1个}）ķ+\mathrm{1个}$顶点。布朗，埃尔德斯和索斯在1973年的经典结果表明：$F_{\mathrm{[R}}（ñ，Ë\mathrm{[R}-（Ë-\mathrm{1个}）ķ，Ë）=\mathrm{\Theta }（{ñ}^{ķ}）$。退化的图兰密度定义为极限（如果存在）$\pi （\mathrm{[R}，ķ，Ë）：=\underset{ñ\to \infty }{\mathrm{林}}\frac{F_{\mathrm{[R}}（ñ，Ë\mathrm{[R}-（Ë-\mathrm{1个}）ķ，Ë）}{{ñ}^{ķ}}。$ 扩展了Glock的最新结果，用于特殊情况下 $\mathrm{[R}=3，ķ=2，Ë=3$，我们证明$\pi （\mathrm{[R}，2，3）：=\underset{ñ\to \infty }{\mathrm{林}}\frac{F_{\mathrm{[R}}（ñ，3\mathrm{[R}-4，3）}{{ñ}^2}=\frac{\mathrm{1个}}{{\mathrm{[R}}^2-\mathrm{[R}-\mathrm{1个}}$ 对于任意固定 $\mathrm{[R}\ge 4$。对于更一般的情况$\mathrm{[R}>ķ\ge 3$，我们设法证明$\frac{\mathrm{1个}}{{\mathrm{[R}}^{ķ}-\mathrm{[R}}\le \underset{ñ\to \infty }{\mathrm{林}\mathrm{信息}}\frac{F_{\mathrm{[R}}（ñ，3\mathrm{[R}-2ķ，3）}{{ñ}^{ķ}}\le \underset{ñ\to \infty }{\mathrm{林}\mathrm{SUP}}\frac{F_{\mathrm{[R}}（ñ，3\mathrm{[R}-2ķ，3）}{{ñ}^{ķ}}\le \frac{\mathrm{1个}}{ķ！（\begin{array}{c}\mathrm{[R}\\ ķ\end{array}）-\frac{ķ！}{2}}，$ 上下限之间的间隙较小 $\mathrm{[R}\gg ķ$。

证明这些结果的主要困难是确定下界的构造。第一个结构是递归的和纯的组合，并且基于（精心设计）近似引起的完全图的分解，而第二结构是代数，由我们称之为新定义的矩阵属性证明强烈3 -完美散列。