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Quasi-majority Functional Voting on Expander Graphs
arXiv - CS - Discrete Mathematics Pub Date : 2020-02-18 , DOI: arxiv-2002.07411 Nobutaka Shimizu and Takeharu Shiraga
arXiv - CS - Discrete Mathematics Pub Date : 2020-02-18 , DOI: arxiv-2002.07411 Nobutaka Shimizu and Takeharu Shiraga
Consider a distributed graph where each vertex holds one of two distinct
opinions. In this paper, we are interested in synchronous voting processes
where each vertex updates its opinion according to a predefined common local
updating rule. For example, each vertex adopts the majority opinion among 1)
itself and two randomly picked neighbors in best-of-two or 2) three randomly
picked neighbors in best-of-three. Previous works intensively studied specific
rules including best-of-two and best-of-three individually. In this paper, we generalize and extend previous works of best-of-two and
best-of-three on expander graphs by proposing a new model, quasi-majority
functional voting. This new model contains best-of-two and best-of-three as
special cases. We show that, on expander graphs with sufficiently large initial
bias, any quasi-majority functional voting reaches consensus within $O(\log n)$
steps with high probability. Moreover, we show that, for any initial opinion
configuration, any quasi-majority functional voting on expander graphs with
higher expansion (e.g., Erd\H{o}s-R\'enyi graph $G(n,p)$ with
$p=\Omega(1/\sqrt{n})$) reaches consensus within $O(\log n)$ with high
probability. Furthermore, we show that the consensus time is $O(\log n/\log k)$
of best-of-$(2k+1)$ for $k=o(n/\log n)$.
中文翻译:
扩展图上的准多数功能投票
考虑一个分布式图,其中每个顶点持有两种不同意见之一。在本文中,我们对同步投票过程感兴趣,其中每个顶点根据预定义的公共本地更新规则更新其意见。例如,每个顶点在 1) 自身和两个最佳的两个随机选择的邻居或 2) 三个最佳的三个随机选择的邻居之间采用多数意见。以前的作品深入研究了具体规则,包括分别最好的两个和最好的三个。在本文中,我们通过提出一个新模型,准多数函数投票,概括和扩展了先前关于扩展器图的最佳二选一和三选一的工作。这个新模型包含最好的两个和最好的三个作为特殊情况。我们表明,在具有足够大初始偏差的扩展图上,任何准多数功能投票都以高概率在 $O(\log n)$ 步骤内达成共识。此外,我们表明,对于任何初始意见配置,对具有更高扩展的扩展图(例如,Erd\H{o}sR\'enyi 图 $G(n,p)$ 和 $p= \Omega(1/\sqrt{n})$) 在 $O(\log n)$ 内以高概率达成共识。此外,我们表明,当 $k=o(n/\log n)$ 时,共识时间是 $O(\log n/\log k)$ of best-of-$(2k+1)$。
更新日期:2020-02-19
中文翻译:
扩展图上的准多数功能投票
考虑一个分布式图,其中每个顶点持有两种不同意见之一。在本文中,我们对同步投票过程感兴趣,其中每个顶点根据预定义的公共本地更新规则更新其意见。例如,每个顶点在 1) 自身和两个最佳的两个随机选择的邻居或 2) 三个最佳的三个随机选择的邻居之间采用多数意见。以前的作品深入研究了具体规则,包括分别最好的两个和最好的三个。在本文中,我们通过提出一个新模型,准多数函数投票,概括和扩展了先前关于扩展器图的最佳二选一和三选一的工作。这个新模型包含最好的两个和最好的三个作为特殊情况。我们表明,在具有足够大初始偏差的扩展图上,任何准多数功能投票都以高概率在 $O(\log n)$ 步骤内达成共识。此外,我们表明,对于任何初始意见配置,对具有更高扩展的扩展图(例如,Erd\H{o}sR\'enyi 图 $G(n,p)$ 和 $p= \Omega(1/\sqrt{n})$) 在 $O(\log n)$ 内以高概率达成共识。此外,我们表明,当 $k=o(n/\log n)$ 时,共识时间是 $O(\log n/\log k)$ of best-of-$(2k+1)$。