We solve the problem of existence of perfect codes in the Doob graph. It is shown that 1-perfect codes in the Doob graph $ {D(m,n)}$ exist if and only if $6 {m}+3 {n}+1$ is a power of 2; that is, if the size of a 1-ball divides the number of vertices.

中文翻译：

---

Doob图中完美码的存在性

我们解决了 Doob 图中存在完美代码的问题。表明 Doob 图中的 1-完美代码 $ {D(m,n)}$ 存在当且仅当 $6 {m}+3 {n}+1$ 是 2 的幂；也就是说，如果 1 球的大小除以顶点数。