We study a flavor model with $A_4$ symmetry which originates from $S_4$ modular group. In $S_4$ symmetry, $Z_2$ subgroup can be anomalous, and then $S_4$ can be violated to $A_4$. Starting with a $S_4$ symmetric Lagrangian at the tree level, the Lagrangian at the quantum level has only $A_4$ symmetry when $Z_2$ in $S_4$ is anomalous. We obtain modular forms of two singlets and a triplet representations of $A_4$ by decomposing $S_4$ modular forms into $A_4$ representations. We propose a new $A_4$ flavor model of leptons by using those $A_4$ modular forms. We succeed in constructing a viable neutrino mass matrix through the Weinberg operator for both normal hierarchy (NH) and inverted hierarchy (IH) of neutrino masses. Our predictions of the CP violating Dirac phase $\delta_{CP}$ and the mixing $\sin^2\theta_{23}$ depend on the sum of neutrino masses for NH.

中文翻译：

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来自 S4 模块化对称的新 A4 轻子风味模型

我们研究了源自 $S_4$ 模群的具有 $A_4$ 对称性的风味模型。在$S_4$对称中，$Z_2$子群可以是异常的，然后$S_4$可以违反到$A_4$。从树级别的 $S_4$ 对称拉格朗日算子开始，当 $S_4$ 中的 $Z_2$ 异常时，量子级别的拉格朗日算子只有 $A_4$ 对称性。我们通过将 $S_4$ 模形式分解为 $A_4$ 表示，获得了 $A_4$ 的两个单线和三元表示的模形式。我们通过使用这些 $A_4$ 模块化形式提出了一个新的 $A_4$ 轻子风味模型。我们成功地通过 Weinberg 算子为中微子质量的正常层次 (NH) 和倒层次 (IH) 构建了可行的中微子质量矩阵。