If a graph $G$ can be represented by means of paths on a grid, such that each vertex of $G$ corresponds to one path on the grid and two vertices of $G$ are adjacent if and only if the corresponding paths share a grid edge, then this graph is called EPG and the representation is called EPG representation. A $k$-bend EPG representation is an EPG representation in which each path has at most $k$ bends. The class of all graphs that have a $k$-bend EPG representation is denoted by $B_k$. $B_\ell^m$ is the class of all graphs that have a monotonic (each path is ascending in both columns and rows) $\ell$-bend EPG representation. It is known that $B_k^m \subsetneqq B_k$ holds for $k=1$. We prove that $B_k^m \subsetneqq B_k$ holds also for $k \in \{2, 3, 5\}$ and for $k \geqslant 7$ by investigating the $B_k$-membership and $B_k^m$-membership of complete bipartite graphs. In particular we derive necessary conditions for this membership that have to be fulfilled by $m$, $n$ and $k$, where $m$ and $n$ are the number of vertices on the two partition classes of the bipartite graph. We conjecture that $B_{k}^{m} \subsetneqq B_{k}$ holds also for $k\in \{4,6\}$. Furthermore we show that $B_k \not\subseteq B_{2k-9}^m$ holds for all $k\geqslant 5$. This implies that restricting the shape of the paths can lead to a significant increase of the number of bends needed in an EPG representation. So far no bounds on the amount of that increase were known. We prove that $B_1 \subseteq B_3^m$ holds, providing the first result of this kind.

中文翻译：

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网格上路径的$k$-Bend 和单调$\ell$-Bend 边交点图的关系

如果图 $G$ 可以通过网格上的路径表示，使得 $G$ 的每个顶点对应网格上的一条路径，并且 $G$ 的两个顶点相邻当且仅当相应的路径共享一个网格边，则该图称为EPG，表示称为EPG表示。$k$-bend EPG 表示是其中每条路径最多具有 $k$ 弯曲的 EPG 表示。具有 $k$-bend EPG 表示的所有图的类由 $B_k$ 表示。$B_\ell^m$ 是所有具有单调（每条路径在列和行中均递增）$\ell$-bend EPG 表示的图的类。已知$B_k^m \subsetneqq B_k$ 对$k=1$ 成立。我们证明 $B_k^m \subsetneqq B_k$ 对 $k \in \{2, 3, 5\}$ 和 $k \geqslant 7$ 通过调查完全二部图的 $B_k$-membership 和 $B_k^m$-membership。特别地，我们推导出必须由 $m$、$n$ 和 $k$ 满足的此成员资格的必要条件，其中 $m$ 和 $n$ 是二部图的两个分区类上的顶点数。我们推测 $B_{k}^{m} \subsetneqq B_{k}$ 也适用于 $k\in \{4,6\}$。此外，我们表明 $B_k \not\subseteq B_{2k-9}^m$ 对所有 $k\geqslant 5$ 都成立。这意味着限制路径的形状会导致 EPG 表示中所需的弯曲数量显着增加。到目前为止，增加的数量没有界限。我们证明 $B_1 \subseteq B_3^m$ 成立，提供了这种类型的第一个结果。特别地，我们推导出必须由 $m$、$n$ 和 $k$ 满足的此成员资格的必要条件，其中 $m$ 和 $n$ 是二部图的两个分区类上的顶点数。我们推测 $B_{k}^{m} \subsetneqq B_{k}$ 也适用于 $k\in \{4,6\}$。此外，我们表明 $B_k \not\subseteq B_{2k-9}^m$ 对所有 $k\geqslant 5$ 都成立。这意味着限制路径的形状会导致 EPG 表示中所需的弯曲数量显着增加。到目前为止，增加的数量没有界限。我们证明 $B_1 \subseteq B_3^m$ 成立，提供了这种类型的第一个结果。特别地，我们推导出必须由 $m$、$n$ 和 $k$ 满足的此成员资格的必要条件，其中 $m$ 和 $n$ 是二部图的两个分区类上的顶点数。我们推测 $B_{k}^{m} \subsetneqq B_{k}$ 也适用于 $k\in \{4,6\}$。此外，我们表明 $B_k \not\subseteq B_{2k-9}^m$ 对所有 $k\geqslant 5$ 都成立。这意味着限制路径的形状会导致 EPG 表示中所需的弯曲数量显着增加。到目前为止，增加的数量没有界限。我们证明 $B_1 \subseteq B_3^m$ 成立，提供了这种类型的第一个结果。我们推测 $B_{k}^{m} \subsetneqq B_{k}$ 也适用于 $k\in \{4,6\}$。此外，我们表明 $B_k \not\subseteq B_{2k-9}^m$ 对所有 $k\geqslant 5$ 都成立。这意味着限制路径的形状会导致 EPG 表示中所需的弯曲数量显着增加。到目前为止，增加的数量没有界限。我们证明 $B_1 \subseteq B_3^m$ 成立，提供了这种类型的第一个结果。我们推测 $B_{k}^{m} \subsetneqq B_{k}$ 也适用于 $k\in \{4,6\}$。此外，我们表明 $B_k \not\subseteq B_{2k-9}^m$ 对所有 $k\geqslant 5$ 都成立。这意味着限制路径的形状会导致 EPG 表示中所需的弯曲数量显着增加。到目前为止，增加的数量没有界限。我们证明 $B_1 \subseteq B_3^m$ 成立，提供了这种类型的第一个结果。