Let $V_k$ denote Dunkl's intertwining operator associated with some root system $R$ and multiplicity function $k$. For two multiplicities $k, k^\prime$ on $R$, we study the operator $V_{k^\prime,k} = V_{k^\prime}\circ V_k^{-1}$, which intertwines the Dunkl operators for multiplicity $k$ with those for multiplicity $k^\prime.$ While it is well-known that the operator $V_k$ is positive for nonnegative $k$, it has been a long-standing conjecture that its generalizations $V_{k^\prime,k}$ are also positive if $k^\prime \geq k \geq 0,$ which is known to be true in rank one. In this paper, we disprove this conjecture by constructing examples for root system $B_n$ with multiplicites $k^\prime \geq k \geq 0$ for which $V_{k^\prime, k}$ is not positive. This matter is closely related to the existence of integral representations of Sonine type between the Dunkl kernels and Bessel functions associated with the relevant multiplicities. In our examples, such Sonine formulas do not exist. As a consequence, we obtain necessary conditions on Sonine-type integral formulas for Heckman-Opdam hypergeometric functions of type $BC_n$ as well as conditions on the existence of positive branching coefficients between systems of multivariable Jacobi polynomials.

中文翻译：

---

Dunkl 理论中的 Sonine 公式和交织算子

让 $V_k$ 表示与某个根系统 $R$ 和多重函数 $k$ 相关联的 Dunkl 的交织算子。对于 $R$ 上的两个重数 $k, k^\prime$，我们研究了算子 $V_{k^\prime,k} = V_{k^\prime}\circ V_k^{-1}$，它们交织在一起多重性 $k$ 的 Dunkl 算子与多重性 $k^\prime.$ 的 Dunkl 算子虽然众所周知，算子 $V_k$ 对非负 $k$ 是正的，但长期以来的猜想是它的推广$V_{k^\prime,k}$ 也是正的，如果 $k^\prime \geq k \geq 0,$ 已知在第一级为真。在本文中，我们通过构造具有乘数 $k^\prime \geq k \geq 0$ 的根系统 $B_n$ 的例子来反驳这个猜想，其中 $V_{k^\prime, k}$ 不是正的。这件事与相关多重性相关的 Dunkl 核和 Bessel 函数之间 Sonine 类型的积分表示的存在密切相关。在我们的示例中，此类 Sonine 公式不存在。因此，我们获得了 $BC_n$ 类型的 Heckman-Opdam 超几何函数的 Sonine 型积分公式的必要条件以及多元 Jacobi 多项式系统之间存在正分支系数的条件。