The paper is devoted to the development of the octonion Fourier transform (OFT) theory initiated in 2011 in articles by Hahn and Snopek. It is also a continuation and generalization of earlier work by Błaszczyk and Snopek, where they proved few essential properties of the OFT of real-valued functions, e.g. symmetry properties. The results of this article focus on proving that the OFT is well-defined for octonion-valued functions and almost all well-known properties of classical (complex) Fourier transform (e.g. argument scaling, modulation and shift theorems) have their direct equivalents in octonion setup. Those theorems, illustrated with some examples, lead to the generalization of another result presented in earlier work, i.e. Parseval and Plancherel Theorems, important from the signal and system processing point of view. Moreover, results presented in this paper associate the OFT with 3-D LTI systems of linear PDEs with constant coefficients. Properties of the OFT in context of signal-domain operations such as derivation and convolution of $$\mathbb {R}$$ R -valued functions will be stated. There are known results for the QFT, but they use the notion of other hypercomplex algebra, i.e. double-complex numbers. Considerations presented here require defining other higher-order hypercomplex structure, i.e. quadruple-complex numbers. This hypercomplex generalization of the Fourier transformation provides an excellent tool for the analysis of 3-D LTI systems.

中文翻译：

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八元傅里叶变换对 3-D 八元值信号的推广：3-D LTI 偏微分系统的特性和可能的​​应用

该论文致力于发展八元傅里叶变换 (OFT) 理论，该理论于 2011 年在 Hahn 和 Snopek 的文章中提出。这也是 Błaszczyk 和 Snopek 早期工作的延续和概括，他们证明了实值函数的 OFT 的一些基本属性，例如对称性。本文的结果侧重于证明 OFT 对于八元值函数是明确定义的，并且几乎所有经典（复）傅立叶变换的众所周知的性质（例如自变量缩放、调制和移位定理）在八元函数中都有它们的直接等价物设置。用一些例子说明的这些定理导致了早期工作中提出的另一个结果的推广，即 Parseval 和 Plancherel 定理，从信号和系统处理的角度来看很重要。而且，本文中提出的结果将 OFT 与具有恒定系数的线性 PDE 的 3-D LTI 系统相关联。将说明信号域操作上下文中的 OFT 属性，例如 $$\mathbb {R}$$ R 值函数的推导和卷积。QFT 有已知的结果，但它们使用其他超复代数的概念，即双复数。这里提出的考虑需要定义其他高阶超复数结构，即四重复数。傅里叶变换的这种超复杂泛化为 3-D LTI 系统的分析提供了极好的工具。将说明信号域操作上下文中的 OFT 属性，例如 $$\mathbb {R}$$ R 值函数的推导和卷积。QFT 有已知的结果，但它们使用其他超复代数的概念，即双复数。此处提出的考虑需要定义其他高阶超复数结构，即四重复数。傅里叶变换的这种超复杂泛化为 3-D LTI 系统的分析提供了极好的工具。将说明信号域操作上下文中的 OFT 属性，例如 $$\mathbb {R}$$ R 值函数的推导和卷积。QFT 有已知的结果，但它们使用其他超复代数的概念，即双复数。此处提出的考虑需要定义其他高阶超复数结构，即四重复数。傅里叶变换的这种超复杂泛化为 3-D LTI 系统的分析提供了极好的工具。