In this paper, we focus on learning optimized partial differential equation (PDE) models for image filtering. In our approach, the gray-scale images are represented by a vector field of two real-valued functions and the image restoration problem is modeled by an evolutionary process such that the restored image at any time satisfies an initial-boundary value problem of cross-diffusion with reaction type. The coupled evolution of the two components of the image is determined by a nondiagonal matrix that depends on those components. A critical question when designing a good performing filter lies in the selection of the optimal coefficients and influence functions which define the cross-diffusion matrix. We propose to take a PDE based on a nonlinear cross-diffusion process and turn it into a learnable architecture in order to optimize the parameters of the model. In particular, we use a back-propagation technique in order to minimize a cost function related to the quality of the denoising process, while we ensure stability during the learning procedure. Consequently, we obtain improved image restoration models with solid mathematical foundations. The learning framework and resulting models are presented along with related numerical experiments and image comparisons. Making use of synthetic data, the numerical results show the advantages of the proposed methodology by achieving significant improvements.

中文翻译：

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学习稳定的非线性交叉扩散模型进行图像复原

在本文中，我们专注于学习用于图像滤波的优化偏微分方程（PDE）模型。在我们的方法中，灰度图像由两个实值函数的矢量场表示，并且图像恢复问题通过进化过程进行建模，以使恢复后的图像在任何时候都满足交叉的初始边界值问题。反应类型的扩散。图像的两个分量的耦合演化由取决于那些分量的非对角矩阵确定。设计性能良好的滤波器时，一个关键问题在于选择定义交叉扩散矩阵的最佳系数和影响函数。我们建议采用基于非线性交叉扩散过程的PDE，并将其转变为可学习的体系结构，以优化模型的参数。特别地，我们使用反向传播技术，以最小化与降噪处理质量相关的成本函数，同时确保学习过程中的稳定性。因此，我们获得了具有坚实数学基础的改进的图像恢复模型。介绍了学习框架和所得模型，以及相关的数值实验和图像比较。利用合成数据，数值结果通过取得重大改进显示了所提出方法的优势。我们使用反向传播技术以最小化与降噪处理质量相关的成本函数，同时确保学习过程中的稳定性。因此，我们获得了具有坚实数学基础的改进的图像恢复模型。介绍了学习框架和所得模型，以及相关的数值实验和图像比较。利用合成数据，数值结果通过取得重大改进显示了所提出方法的优势。我们使用反向传播技术以最小化与降噪处理质量相关的成本函数，同时确保学习过程中的稳定性。因此，我们获得了具有坚实数学基础的改进的图像恢复模型。介绍了学习框架和所得模型，以及相关的数值实验和图像比较。利用合成数据，数值结果通过取得重大改进显示了所提出方法的优势。