It is shown that for 1 < p1, p2 < 1, 1/p3 = 1/p1 + 1/p2, p3 ≥ 1 there existsC ₁ (independent ofn) such that $$\left\| {R_k (f,g)} \right\|_{L^{p_3 } (\mathbb{R}^n )} \leqslant C_1 \left\| f \right\|_{L^{p_1 } (\mathbb{R}^n )} \left\| g \right\|_{L^{p_2 } (\mathbb{R}^n )} $$ where $$R_k (f, g)(x) = b_n \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int_{\left| y \right| > \varepsilon } { f} (x - y)g(x + y)\frac{{y_k }}{{\left| y \right|^{n + 1} }}dy,$$ andb _n is chosen so thatR _k has norm 1 as a bilinear map fromL ²(ℝⁿ) ×L ²(ℝⁿ) →L ¹(ℝⁿ). In the casep ₃ > 1 it is even shown that $$\left\| {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\left| {R_k (f, g)} \right|^2 } } \right)^{1/2} } \right\|_{L^{p_3 } (\mathbb{R}^n )} \leqslant C_2 \left\| f \right\|_{L^{p_1 } (\mathbb{R}^n )} \left\| g \right\|_{L^{p_2 } (\mathbb{R}^n )} $$ for some constantC ₂ independent of the dimension.

中文翻译：

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双线性Riesz变换的无量纲估计

结果表明，对于1 <p1，p2 <1，1 / p3 = 1 / p1 + 1 / p2，p3≥1，存在C ₁（与n无关），使得 $$ \ left \ | {R_k（f，g）} \ right \ | _ {L ^ {p_3}（\ mathbb {R} ^ n）} \ leqslant C_1 \ left \ | f \ right \ | _ {L ^ {p_1}（\ mathbb {R} ^ n）} \ left \ | g \ right \ | _ {L ^ {p_2}（\ mathbb {R} ^ n）} $$ 其中 $$ R_k（f，g）（x）= b_n \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ varepsilon \到0} \ int _ {\ left | y \ right | > \ varepsilon} {f}（x-y）g（x + y）\ frac {{y_k}} {{\ left | Y \右| ^ {N + 1}}} DY，$$ 和b _Ñ被选择为使得ř _ķ具有范数1作为来自双线性映射大号²（ℝ ^Ñ）×大号²（ℝ ^Ñ ）→大号 ¹（ℝ ^Ñ）。在p ₃ > 1的情况下，甚至表明 $$ \ left \ | {\ left（{\ sum \ limits_ {k = 1} ^ n {\ left | {R_k（f，g）} \ right | ^ 2}} \ right）^ {1/2}} \ right \ | _ {L ^ {p_3}（\ mathbb {R} ^ n）} \ leqslant C_2 \ left \ | f \ right \ | _ {L ^ {p_1}（\ mathbb {R} ^ n）} \ left \ | g \ right \ | _ {L ^ {p_2}（\ mathbb {R} ^ n）} $$ 对于某些常数C ₂，与维数无关。