AbstractIn 1967, J. Edmonds introduced the problem of computing the rank over the rational function field of an $${n \times n}$$n×n matrix T with integral homogeneous linear polynomials. In this paper, we consider the non-commutative version of Edmonds’ problem: compute the rank of T over the free skew field. This problem has been proposed, sometimes in disguise, from several different perspectives in the study of, for example, the free skew field itself (Cohn in J Symbol Log 38(2):309–314, 1973), matrix spaces of low rank (Fortin-Reutenauer in Sémin Lothar Comb 52:B52f 2004), Edmonds’ original problem (Gurvits in J Comput Syst Sci 69(3):448–484, 2004), and more recently, non-commutative arithmetic circuits with divisions (Hrubeš and Wigderson in Theory Comput 11:357-393, 2015. doi:10.4086/toc.2015.v011a014). It is known that this problem relates to the following invariant ring, which we call the $${\mathbb{F}}$$F-algebra of matrix semi-invariants, denoted as R(n, m). For a field $${\mathbb{F}}$$F, it is the ring of invariant polynomials for the action of $${{\rm SL}(n, \mathbb{F}) \times {\rm SL}(n, \mathbb{F})}$$SL(n,F)×SL(n,F) on tuples of matrices—$${(A, C)\in {\rm SL}(n, \mathbb{F}) \times {\rm SL}(n, \mathbb{F})}$$(A,C)∈SL(n,F)×SL(n,F) sends $${(B_{1}, \ldots, B_m)\in M(n, \mathbb{F})^{\oplus m}}$$(B1,…,Bm)∈M(n,F)⊕m to $${(AB_1 {C}^{{\rm T}}, \ldots, AB_m {C}^{\rm T})}$$(AB1CT,…,ABmCT). Then those T with non-commutative rank < n correspond to those points in the nullcone of R(n, m). In particular, if the nullcone of R(n, m) is defined by elements of degree $${\leq \sigma}$$≤σ, then there follows a $${{\rm poly}(n,\sigma)}$$poly(n,σ)-time randomized algorithm to decide whether the non-commutative rank of T is full. To our knowledge, previously the best bound for $${\sigma}$$σ was $${O(n^{2}\cdot 4^{n^2})}$$O(n2·4n2) over algebraically closed fields of characteristic 0 (Derksen in Proc Am Math Soc 129(4):955–964, 2001).We now state the main contributions of this paper: We observe that by using an algorithm of Gurvits, and assuming the above bound $${\sigma}$$σ for R(n, m) over $${\mathbb{Q}}$$Q, deciding whether or not T has non-commutative rank < n over $${\mathbb{Q}}$$Q can be done deterministically in time polynomial in the input size and $${\sigma}$$σ.When $${\mathbb{F}}$$F is large enough, we devise an algorithm for the non-commutative Edmonds problem which runs in time polynomial in (n + 1)!. Furthermore, due to the structure of this algorithm, we also have the following results. If the commutative rank and the non-commutative rank of T differ by a constant there exists a randomized efficient algorithm to compute the non-commutative rank of T. This improves upon a result of Fortin and Reutenauer, who gave a randomized efficient algorithm to decide whether the commutative and non-commutative ranks are equal.We show that $${\sigma\leq (n+1)!}$$σ≤(n+1)!. This not only improves the bound obtained from Derksen’s work over algebraically closed field of characteristic 0 but, more importantly, also provides for the first time an explicit bound on $${\sigma}$$σ for matrix semi-invariants over fields of positive characteristics. Furthermore, this does not require $${\mathbb{F}}$$F to be algebraically closed.

中文翻译：

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非交换埃德蒙兹问题和矩阵半不变量

摘要 1967 年，J. Edmonds 介绍了计算具有积分齐次线性多项式的 $${n \times n}$$n×n 矩阵 T 在有理函数域上的秩的问题。在本文中，我们考虑 Edmonds 问题的非交换版本：计算 T 在自由偏斜域上的秩。在研究自由偏斜场本身（Cohn in J Symbol Log 38(2):309–314, 1973）、低秩矩阵空间等研究中，有时会以变相的方式从几个不同的角度提出这个问题（Fortin-Reutenauer in Sémin Lothar Comb 52:B52f 2004），Edmonds 的原始问题（Gurvits in J Comput Syst Sci 69(3):448–484, 2004），以及最近的除法非交换算术电路 (Hrubeš和 Wigderson in Theory Comput 11:357-393, 2015. doi:10.4086/toc.2015.v011a014)。众所周知，这个问题与下面的不变环有关，我们称之为矩阵半不变量的$${\mathbb{F}}$$F-代数，记为R(n, m)。对于域 $${\mathbb{F}}$$F，它是 $${{\rm SL}(n, \mathbb{F}) \times {\rm SL }(n, \mathbb{F})}$$SL(n,F)×SL(n,F) 在矩阵元组上——$${(A, C)\in {\rm SL}(n, \ mathbb{F}) \times {\rm SL}(n, \mathbb{F})}$$(A,C)∈SL(n,F)×SL(n,F) 发送 $${(B_{ 1}, \ldots, B_m)\in M(n, \mathbb{F})^{\oplus m}}$$(B1,…,Bm)∈M(n,F)⊕m 到 $${( AB_1 {C}^{{\rm T}}, \ldots, AB_m {C}^{\rm T})}$$(AB1CT,...,ABmCT)。然后那些具有非交换秩 < n 的 T 对应于 R(n, m) 的 nullcone 中的那些点。特别地，如果 R(n, m) 的 nullcone 由度数 $${\leq \sigma}$$≤σ 的元素定义，则遵循 $${{\rm poly}(n,\sigma) }$$poly(n, σ)-时间随机算法来决定 T 的非交换秩是否为满。据我们所知，以前 $${\sigma}$$σ 的最佳边界是 $${O(n^{2}\cdot 4^{n^2})}$$O(n2·4n2) 在代数上特征 0 的闭域（Derksen in Proc Am Math Soc 129(4):955–964, 2001）。我们现在陈述本文的主要贡献：我们通过使用 Gurvits 算法观察到，并假设上述界限 $ ${\sigma}$$σ for R(n, m) over $${\mathbb{Q}}$$Q，决定 T 在 $${\mathbb{Q} 上是否具有非交换秩 < n }$$Q 可以在输入大小和 $${\sigma}$$σ 的时间多项式中确定性地完成。当 $${\mathbb{F}}$$F 足够大时，我们为非-在 (n + 1)! 中的时间多项式中运行的交换 Edmonds 问题。此外，由于该算法的结构，我们也有以下结果。如果 T 的交​​换秩和非交换秩相差一个常数，则存在一个随机有效算法来计算 T 的非交换秩。 这改进了 Fortin 和 Reutenauer 的结果，他们给出了一个随机有效算法来决定交换秩和非交换秩是否相等。我们证明$${\sigma\leq (n+1)!}$$σ≤(n+1)!。这不仅改进了从 Derksen 在特征为 0 的代数闭域上的工作中获得的界限，而且更重要的是，还首次为正域上的矩阵半不变量提供了 $${\sigma}$$σ 上的显式界限。特征。此外，这不需要 $${\mathbb{F}}$$F 是代数闭的。如果 T 的交​​换秩和非交换秩相差一个常数，则存在一个随机有效算法来计算 T 的非交换秩。 这改进了 Fortin 和 Reutenauer 的结果，他们给出了一个随机有效算法来决定交换秩和非交换秩是否相等。我们证明$${\sigma\leq (n+1)!}$$σ≤(n+1)!。这不仅改进了从 Derksen 在特征为 0 的代数闭域上的工作中获得的界限，而且更重要的是，还首次为正域上的矩阵半不变量提供了 $${\sigma}$$σ 上的显式界限。特征。此外，这不需要 $${\mathbb{F}}$$F 是代数闭的。如果 T 的交​​换秩和非交换秩相差一个常数，则存在一个随机有效算法来计算 T 的非交换秩。 这改进了 Fortin 和 Reutenauer 的结果，他们给出了一个随机有效算法来决定交换秩和非交换秩是否相等。我们证明$${\sigma\leq (n+1)!}$$σ≤(n+1)!。这不仅改进了从 Derksen 在特征为 0 的代数闭域上的工作中获得的界限，而且更重要的是，还首次为正域上的矩阵半不变量提供了 $${\sigma}$$σ 上的显式界限。特征。此外，这不需要 $${\mathbb{F}}$$F 是代数闭的。这改进了 Fortin 和 Reutenauer 的结果，他们给出了一个随机有效的算法来决定交换和非交换秩是否相等。我们证明 $${\sigma\leq (n+1)!}$$σ≤ (n+1)！。这不仅改进了从 Derksen 在特征为 0 的代数闭域上的工作中获得的界限，而且更重要的是，还首次为正域上的矩阵半不变量提供了 $${\sigma}$$σ 上的显式界限。特征。此外，这不需要 $${\mathbb{F}}$$F 是代数闭的。这改进了 Fortin 和 Reutenauer 的结果，他们给出了一个随机有效的算法来决定交换和非交换秩是否相等。我们证明 $${\sigma\leq (n+1)!}$$σ≤ (n+1)！。这不仅改进了从 Derksen 在特征为 0 的代数闭域上的工作中获得的界限，而且更重要的是，还首次为正域上的矩阵半不变量提供了 $${\sigma}$$σ 上的显式界限。特征。此外，这不需要 $${\mathbb{F}}$$F 是代数闭的。更重要的是，还首次为正特征域上的矩阵半不变量提供了 $${\sigma}$$σ 上的显式界限。此外，这不需要 $${\mathbb{F}}$$F 是代数闭的。更重要的是，还首次为正特征域上的矩阵半不变量提供了 $${\sigma}$$σ 的显式界限。此外，这不需要 $${\mathbb{F}}$$F 是代数闭的。