We investigate the existence of maximal collections of mutually noncrossing k-element subsets of \(\left\{ 1, \ldots , n \right\} \) that are invariant under adding \(k\pmod n\) to all indices. Our main result is that such a collection exists if and only if k is congruent to 0, 1 or \(-1\) modulo \(n/{\text {GCD}}(k,n)\). Moreover, we present some algebraic consequences of our result related to self-injective Jacobian algebras.

中文翻译：

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k元集的对称最大非交叉集合的存在

我们调查\（\ left \ {1，\ ldots，n \ right \} \）的相互不交叉的k个元素子集的最大集合的存在，这些子集在向所有索引加上\（k \ pmod n \）时是不变的。我们的主要结果是，当且仅当k等于0、1或\（-1 \）模\（n / {\ text {GCD}}（k，n）\）时，这种集合才存在。此外，我们提出了与自射雅可比代数有关的结果的代数结果。