Let X be a pointed CW-complex. The generalized conjecture on spherical classes states that, the Hurewicz homomorphism $$H: \pi _{*}(Q_0 X) \rightarrow H_{*}(Q_0 X)$$ H : π ∗ ( Q 0 X ) → H ∗ ( Q 0 X ) vanishes on classes of $$\pi _* (Q_0 X)$$ π ∗ ( Q 0 X ) of Adams filtration greater than 2. Let $$ \varphi _s: {\rm Ext} _{\mathcal {A}}^{s}(\widetilde{H}^*(X), \mathbb {F}_2) \rightarrow {(\mathbb {F}_2 \otimes _{{\mathcal {A}}}R_s\widetilde{H}^*(X))}^* $$ φ s : E x t A s ( H ~ ∗ ( X ) , F 2 ) → ( F 2 ⊗ A R s H ~ ∗ ( X ) ) ∗ denote the s th Lannes–Zarati homomorphism for the unstable $${\mathcal {A}}$$ A -module $$\widetilde{H}^*(X)$$ H ~ ∗ ( X ) . This homomorphism corresponds to an associated graded of the Hurewicz map. An algebraic version of the conjecture states that the s th Lannes–Zarati homomorphism vanishes in any positive stem for $$s>2$$ s > 2 and any CW-complex X . We construct a chain level representation for the Lannes–Zarati homomorphism by means of modular invariant theory. We show the commutativity of the Lannes–Zarati homomorphism and the squaring operation. The second Lannes–Zarati homomorphism for $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ R P ∞ vanishes in positive stems, while the first Lannes-Zatati homomorphism for any space is basically non-zero. We prove the algebraic conjecture for $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ R P ∞ and $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{n}$$ R P n with $$s=3$$ s = 3 , 4. We discuss the relation between the Lannes–Zarati homomorphisms for $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ R P ∞ and $$S^0$$ S 0 . Consequently, the algebraic conjecture for $$X=S^0$$ X = S 0 is re-proved with $$s=3$$ s = 3 , 4, 5.

中文翻译：

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球类的广义代数猜想

令 X 是一个尖的 CW 复形。球类的广义猜想表明， Hurewicz 同态 $$H: \pi _{*}(Q_0 X) \rightarrow H_{*}(Q_0 X)$$ H : π ∗ ( Q 0 X ) → H ∗ ( Q 0 X ) 在 Adams 过滤大于 2 的 $$\pi _* (Q_0 X)$$ π ∗ ( Q 0 X ) 类上消失。让 $$ \varphi _s: {\rm Ext} _{\ mathcal {A}}^{s}(\widetilde{H}^*(X), \mathbb {F}_2) \rightarrow {(\mathbb {F}_2 \otimes _{{\mathcal {A}}} R_s\widetilde{H}^*(X))}^* $$ φ s : Ext A s ( H ~ ∗ ( X ) , F 2 ) → ( F 2 ⊗ AR s H ~ ∗ ( X ) ) ∗表示不稳定 $${\mathcal {A}}$$ A -module $$\widetilde{H}^*(X)$$ H ~ ∗ ( X ) 的第 s 个 Lannes–Zarati 同态。这种同态对应于 Hurewicz 映射的相关分级。该猜想的代数版本表明，对于 $$s>，第 s 个 Lannes-Zarati 同态在任何正词干中消失 2$$ s > 2 和任何 CW 复数 X 。我们通过模不变理论为Lannes-Zarati同态构建了一个链级表示。我们展示了 Lannes-Zarati 同态和平方运算的交换性。$$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ RP ∞ 的第二个Lannes-Zarati 同态在正词干中消失，而任何空间的第一个Lannes-Zatati 同态基本上是非零的。我们用 $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ RP ∞ 和 $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{n}$$ RP n 证明代数猜想$s=3$$ s = 3 , 4. 我们讨论 $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ RP ∞ 和 $$S^0 的 Lannes-Zarati 同态之间的关系$$ S 0 。因此，$$X=S^0$$ X = S 0 的代数猜想被重新证明为 $$s=3$$ s = 3 , 4, 5。我们通过模不变理论为Lannes-Zarati同态构建了一个链级表示。我们展示了 Lannes-Zarati 同态和平方运算的交换性。$$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ RP ∞ 的第二个Lannes-Zarati 同态在正词干中消失，而任何空间的第一个Lannes-Zatati 同态基本上是非零的。我们用 $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ RP ∞ 和 $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{n}$$ RP n 证明代数猜想$s=3$$ s = 3 , 4. 我们讨论 $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ RP ∞ 和 $$S^0 的 Lannes-Zarati 同态之间的关系$$ S 0 。因此，$$X=S^0$$ X = S 0 的代数猜想被重新证明为 $$s=3$$ s = 3 , 4, 5。我们通过模不变理论为Lannes-Zarati同态构建了一个链级表示。我们展示了 Lannes-Zarati 同态和平方运算的交换性。$$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ RP ∞ 的第二个Lannes-Zarati 同态在正词干中消失，而任何空间的第一个Lannes-Zatati 同态基本上是非零的。我们用 $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ RP ∞ 和 $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{n}$$ RP n 证明代数猜想$s=3$$ s = 3 , 4. 我们讨论 $$\mathbb {R}\mathbb {P}^{\infty }$$ RP ∞ 和 $$S^0 的 Lannes-Zarati 同态之间的关系$$ S 0 。因此，$$X=S^0$$ X = S 0 的代数猜想被重新证明为 $$s=3$$ s = 3 , 4, 5。