Let p be an odd prime number and $$\ell $$ℓ an odd prime number dividing $$p-1$$p-1. We denote by $$F=F_{p,\ell }$$F=Fp,ℓ the real abelian field of conductor p and degree $$\ell $$ℓ, and by $$h_F$$hF the class number of F. For a prime number $$r \ne p,\,\ell $$r≠p,ℓ, let $$F_{\infty }$$F∞ be the cyclotomic $$\mathbb {Z}_r$$Zr-extension over F, and $$M_{\infty }/F_{\infty }$$M∞/F∞ the maximal pro-r abelian extension unramified outside r. We prove that $$M_{\infty }$$M∞ coincides with $$F_{\infty }$$F∞ and consequently $$h_F$$hF is not divisible by r when r is a primitive root modulo $$\ell $$ℓ and r is smaller than an explicit constant depending on p.

中文翻译：

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与原导体的一些阿贝尔场相关的 Iwasawa 模块的琐碎性

设 p 为奇质数，$$\ell $$ℓ 为除 $$p-1$$p-1 的奇质数。我们用 $$F=F_{p,\ell }$$F=Fp,ℓ 表示导体 p 和度数 $$\ell $$ℓ 的实阿贝尔场，用 $$h_F$$hF 表示F. 对于素数 $$r \ne p,\,\ell $$r≠p,ℓ, 令 $$F_{\infty }$$F∞ 是圈数 $$\mathbb {Z}_r$$ F 上的 Zr 扩展，以及 $$M_{\infty }/F_{\infty }$$M∞/F∞ 在 r 外未分叉的最大亲 r 阿贝尔扩展。我们证明 $$M_{\infty }$$M∞ 与 $$F_{\infty }$$F∞ 重合，因此当 r 是原始根模 $$\ 时 $$h_F$$hF 不能被 r 整除ell $$ℓ 并且 r 小于依赖于 p 的显式常量。