We consider dynamical percolation on the d -dimensional discrete torus $${\mathbb {Z}}_n^d$$ Z n d of side length n , where each edge refreshes its status at rate $$\mu =\mu _n\le 1/2$$ μ = μ n ≤ 1 / 2 to be open with probability p . We study random walk on the torus, where the walker moves at rate 1 / (2 d ) along each open edge. In earlier work of two of the authors with A. Stauffer, it was shown that in the subcritical case $$pp_c({\mathbb {Z}}^d)$$ p > p c ( Z d ) , the mixing time is $$\Theta (n^2+1/\mu )$$ Θ ( n 2 + 1 / μ ) ; here the implied constants depend only on d and p . We prove a quenched (and hence annealed) version of this conjecture up to a poly-logarithmic factor under the assumption $$\theta (p)>1/2$$ θ ( p ) > 1 / 2 . When $$\theta (p)>0$$ θ ( p ) > 0 , we prove a version of this conjecture for an alternative notion of mixing time involving randomised stopping times. The latter implies sharp (up to poly-logarithmic factors) upper bounds on exit times of large balls throughout the supercritical regime. Our proofs are based on percolation results (e.g., the Grimmett–Marstrand Theorem) and an analysis of the volume-biased evolving set process; the key point is that typically, the evolving set has a substantial intersection with the giant percolation cluster at many times. This allows us to use precise isoperimetric properties of the cluster (due to G. Pete) to infer rapid growth of the evolving set, which in turn yields the upper bound on the mixing time.

中文翻译：

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超临界动态渗流随机游走的混合时间

我们考虑边长为 n 的 d 维离散环面 $${\mathbb {Z}}_n^d$$ Z nd 上的动态渗流，其中每条边以 $$\mu =\mu _n\le 的速率刷新其状态1/2$$ μ = μ n ≤ 1 / 2 以概率 p 开盘。我们研究环面上的随机游走，其中游走器沿每个开放边缘以 1 / (2 d ) 的速率移动。在两位作者与 A. Stauffer 的早期工作中，表明在亚临界情况 $$pp_c({\mathbb {Z}}^d)$$ p > pc ( Z d ) 中，混合时间为 $ $\Theta (n^2+1/\mu)$$Θ (n 2 + 1 / μ ) ; 这里隐含的常量仅取决于 d 和 p 。在假设 $$\theta (p)>1/2$$ θ (p) > 1 / 2 下，我们证明了这个猜想的淬火（因此退火）版本直到一个多对数因子。当 $$\theta (p)>0$$ θ (p) > 0 时，我们证明了这个猜想的一个版本，用于混合时间的另一种概念，涉及随机停止时间。后者意味着大球在整个超临界状态下的退出时间的尖锐（高达多对数因子）上限。我们的证明基于渗透结果（例如，格里米特-马斯特兰定理）和对体积偏向演化集过程的分析；关键点是，通常情况下，演化集与巨大的渗透集群有很多次实质性的交集。这使我们能够使用集群的精确等周特性（由于 G. Pete）来推断演化集的快速增长，从而产生混合时间的上限。后者意味着大球在整个超临界状态下的退出时间的尖锐（高达多对数因子）上限。我们的证明基于渗透结果（例如，格里米特-马斯特兰定理）和对体积偏向演化集过程的分析；关键点是，通常情况下，演化集与巨大的渗透集群有很多次实质性的交集。这使我们能够使用集群的精确等周特性（由于 G. Pete）来推断演化集的快速增长，从而产生混合时间的上限。后者意味着大球在整个超临界状态下的退出时间的尖锐（高达多对数因子）上限。我们的证明基于渗透结果（例如，格里米特-马斯特兰定理）和对体积偏向演化集过程的分析；关键点是，通常情况下，演化集与巨大的渗透集群有很多次实质性的交集。这使我们能够使用集群的精确等周特性（由于 G. Pete）来推断演化集的快速增长，从而产生混合时间的上限。进化集在很多时候与巨大的渗透集群有实质性的交集。这使我们能够使用集群的精确等周特性（由于 G. Pete）来推断演化集的快速增长，从而产生混合时间的上限。进化集在很多时候与巨大的渗透集群有实质性的交集。这使我们能够使用集群的精确等周特性（由于 G. Pete）来推断演化集的快速增长，从而产生混合时间的上限。