Harmonic periods have wide applicability in industrial real-time systems. Rate monotonic (RM) is able to schedule task sets with harmonic periods up to 100% utilization. Also, if there is no release jitter and execution time variation, RM and EDF generate the same schedule for each instance of a task. As a result, all instances of a task are interfered by the same amount of workload. This property decreases the jitters that happen during sampling and actuation of the tasks, and hence, it increases the quality of service in control systems. In this paper, we consider the problem of optimal period assignment where the periods are constrained to be harmonic and the task set is required to be feasible. We study two variants of this problem. In the first one, the objective is to maximize the system utilization, while in the second one, the goal is to minimize the total weighted sum of the periods. First, we assume that an interval is determined a priori for each task from which its period can be selected. We show that both variants of the problem are (at least) weakly NP-hard. This is shown by reducing the NP-complete number partitioning problem to the mentioned harmonic period assignment problems. Afterwards, we consider a variant of the second problem in which the periods are not restricted to a special interval. We present two approximation algorithms with polynomial-time complexity for this problem and show that the maximum relative error of these algorithms is bounded by a factor of 1.125. Our evaluations show that, on the average, results of the approximation algorithms are very close to an optimal solution.

中文翻译：

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最佳谐波周期分配：复杂度结果和近似算法

谐波周期在工业实时系统中具有广泛的适用性。速率单调 (RM) 能够调度具有高达 100% 利用率的谐波周期的任务集。此外，如果没有发布抖动和执行时间变化，RM 和 EDF 会为任务的每个实例生成相同的计划。因此，任务的所有实例都会受到相同数量的工作负载的干扰。此属性减少了在采样和任务启动期间发生的抖动，因此，它提高了控制系统中的服务质量。在本文中，我们考虑了优化周期分配问题，其中周期被约束为谐波并且要求任务集是可行的。我们研究了这个问题的两个变体。在第一个中，目标是最大化系统利用率，而在第二个中，目标是最小化期间​​的总加权和。首先，我们假设每个任务的时间间隔是先验确定的，从中可以选择其周期。我们表明该问题的两种变体（至少）都是弱 NP 难的。这是通过将 NP 完全数划分问题简化为提到的谐波周期分配问题来显示的。之后，我们考虑第二个问题的变体，其中周期不限于特殊间隔。我们针对这个问题提出了两种具有多项式时间复杂度的近似算法，并表明这些算法的最大相对误差以因子 1.125 为界。我们的评估表明，平均而言，近似算法的结果非常接近最优解。我们假设每个任务的时间间隔是先验确定的，从中可以选择其周期。我们表明该问题的两种变体（至少）都是弱 NP 难的。这是通过将 NP 完全数划分问题简化为提到的谐波周期分配问题来显示的。之后，我们考虑第二个问题的变体，其中周期不限于特殊间隔。我们针对这个问题提出了两种具有多项式时间复杂度的近似算法，并表明这些算法的最大相对误差以因子 1.125 为界。我们的评估表明，平均而言，近似算法的结果非常接近最优解。我们假设每个任务的时间间隔是先验确定的，从中可以选择其周期。我们表明该问题的两种变体（至少）都是弱 NP 难的。这是通过将 NP 完全数划分问题简化为提到的谐波周期分配问题来显示的。之后，我们考虑第二个问题的变体，其中周期不限于特殊间隔。我们针对这个问题提出了两种具有多项式时间复杂度的近似算法，并表明这些算法的最大相对误差以因子 1.125 为界。我们的评估表明，平均而言，近似算法的结果非常接近最优解。我们表明该问题的两种变体（至少）都是弱 NP 难的。这是通过将 NP 完全数划分问题简化为提到的谐波周期分配问题来显示的。之后，我们考虑第二个问题的变体，其中周期不限于特殊间隔。我们针对这个问题提出了两种具有多项式时间复杂度的近似算法，并表明这些算法的最大相对误差以因子 1.125 为界。我们的评估表明，平均而言，近似算法的结果非常接近最优解。我们表明该问题的两种变体（至少）都是弱 NP 难的。这是通过将 NP 完全数划分问题简化为提到的谐波周期分配问题来显示的。之后，我们考虑第二个问题的变体，其中周期不限于特殊间隔。我们针对这个问题提出了两种具有多项式时间复杂度的近似算法，并表明这些算法的最大相对误差以因子 1.125 为界。我们的评估表明，平均而言，近似算法的结果非常接近最优解。我们考虑第二个问题的一个变体，其中周期不限于一个特殊的间隔。我们针对这个问题提出了两种具有多项式时间复杂度的近似算法，并表明这些算法的最大相对误差以因子 1.125 为界。我们的评估表明，平均而言，近似算法的结果非常接近最优解。我们考虑第二个问题的一个变体，其中周期不限于一个特殊的间隔。我们针对这个问题提出了两种具有多项式时间复杂度的近似算法，并表明这些算法的最大相对误差以因子 1.125 为界。我们的评估表明，平均而言，近似算法的结果非常接近最优解。