We prove several results which, together with prior work, provide a nearly-complete picture of the relationships among classical communication complexity classes between $${\mathsf{P}}$$P and $${\mathsf{PSPACE}}$$PSPACE, short of proving lower bounds against classes for which no explicit lower bounds were already known. Our article also serves as an up-to-date survey on the state of structural communication complexity.Among our new results we show that $${\mathsf{MA} \not\subseteq \mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}[1]}}$$MA⊈ZPPNP[1], that is, Merlin–Arthur proof systems cannot be simulated by zero-sided error randomized protocols with one $${\mathsf{NP}}$$NP query. Here the class $$\mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}[1]}$$ZPPNP[1] has the property that generalizing it in the slightest ways would make it contain $${\mathsf{AM} \cap \mathsf{coAM}}$$AM∩coAM, for which it is notoriously open to prove any explicit lower bounds. We also prove that $${\mathsf{US} \not\subseteq \mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}[1]}}$$US⊈ZPPNP[1], where $${\mathsf{US}}$$US is the class whose canonically complete problem is the variant of set-disjointness where yes-instances are uniquely intersecting. We also prove that $${\mathsf{US} \not\subseteq \mathsf{coDP}}$$US⊈coDP, where $${\mathsf{DP}}$$DP is the class of differences of two $${\mathsf{NP}}$$NP sets. Finally, we explore an intriguing open issue: Are rank-1 matrices inherently more powerful than rectangles in communication complexity? We prove a new separation concerning $${\mathsf{PP}}$$PP that sheds light on this issue and strengthens some previously known separations.

中文翻译：

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通信复杂性类的景观

我们证明了几个结果，这些结果与先前的工作一起，提供了 $${\mathsf{P}}$$P 和 $${\mathsf{PSPACE}}$$ 之间经典通信复杂性类之间关系的近乎完整的图片PSPACE，无法针对尚无明确下界的类证明下界。我们的文章还作为对结构通信复杂性状态的最新调查。在我们的新结果中，我们表明 $${\mathsf{MA} \not\subseteq \mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP }[1]}}$$MA⊈ZPPNP[1]，即 Merlin-Arthur 证明系统不能通过一个 $${\mathsf{NP}}$$NP 查询的零边误差随机协议来模拟。这里的类 $$\mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}[1]}$$ZPPNP[1] 具有以下属性：以最轻微的方式概括它会使它包含 $${\mathsf{AM} \帽 \mathsf{coAM}}$$AM∩coAM，众所周知，证明任何明确的下界是公开的。我们还证明了 $${\mathsf{US} \not\subseteq \mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}[1]}}$$US⊈ZPPNP[1]，其中 $${\mathsf{US }}$$US 是这样一个类，其规范完全问题是集合不相交的变体，其中是实例唯一相交。我们还证明了 $${\mathsf{US} \not\subseteq \mathsf{coDP}}$$US⊈coDP，其中 $${\mathsf{DP}}$$DP 是两个 $$ {\mathsf{NP}}$$NP 集。最后，我们探讨了一个有趣的开放性问题：在通信复杂性方面，秩 1 矩阵本质上是否比矩形更强大？我们证明了关于 $${\mathsf{PP}}$$PP 的新分离，它阐明了这个问题并加强了一些以前已知的分离。我们还证明了 $${\mathsf{US} \not\subseteq \mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}[1]}}$$US⊈ZPPNP[1]，其中 $${\mathsf{US }}$$US 是这样一个类，其规范完全问题是集合不相交的变体，其中是实例唯一相交。我们还证明了 $${\mathsf{US} \not\subseteq \mathsf{coDP}}$$US⊈coDP，其中 $${\mathsf{DP}}$$DP 是两个 $$ {\mathsf{NP}}$$NP 集。最后，我们探讨了一个有趣的开放性问题：在通信复杂性方面，秩 1 矩阵本质上是否比矩形更强大？我们证明了关于 $${\mathsf{PP}}$$PP 的新分离，它阐明了这个问题并加强了一些以前已知的分离。我们还证明了 $${\mathsf{US} \not\subseteq \mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}[1]}}$$US⊈ZPPNP[1]，其中 $${\mathsf{US }}$$US 是这样一个类，其规范完全问题是集合不相交的变体，其中是实例唯一相交。我们还证明了 $${\mathsf{US} \not\subseteq \mathsf{coDP}}$$US⊈coDP，其中 $${\mathsf{DP}}$$DP 是两个 $$ {\mathsf{NP}}$$NP 集。最后，我们探讨了一个有趣的开放性问题：在通信复杂性方面，秩 1 矩阵本质上是否比矩形更强大？我们证明了关于 $${\mathsf{PP}}$$PP 的新分离，它阐明了这个问题并加强了一些以前已知的分离。其中 $${\mathsf{US}}$$US 是典型完全问题是集合不相交的变体的类，其中是实例唯一相交。我们还证明了 $${\mathsf{US} \not\subseteq \mathsf{coDP}}$$US⊈coDP，其中 $${\mathsf{DP}}$$DP 是两个 $$ {\mathsf{NP}}$$NP 集。最后，我们探讨了一个有趣的开放性问题：在通信复杂性方面，秩 1 矩阵本质上是否比矩形更强大？我们证明了关于 $${\mathsf{PP}}$$PP 的新分离，它阐明了这个问题并加强了一些以前已知的分离。其中 $${\mathsf{US}}$$US 是规范完全问题是集合不相交的变体的类，其中是实例唯一相交。我们还证明了 $${\mathsf{US} \not\subseteq \mathsf{coDP}}$$US⊈coDP，其中 $${\mathsf{DP}}$$DP 是两个 $$ {\mathsf{NP}}$$NP 集。最后，我们探讨了一个有趣的开放性问题：在通信复杂性方面，秩 1 矩阵本质上是否比矩形更强大？我们证明了关于 $${\mathsf{PP}}$$PP 的新分离，它阐明了这个问题并加强了一些以前已知的分离。在通信复杂性方面，秩 1 矩阵本质上比矩形更强大吗？我们证明了关于 $${\mathsf{PP}}$$PP 的新分离，它阐明了这个问题并加强了一些以前已知的分离。在通信复杂性方面，秩 1 矩阵本质上比矩形更强大吗？我们证明了关于 $${\mathsf{PP}}$$PP 的新分离，它阐明了这个问题并加强了一些以前已知的分离。